Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen bestimmen

Question

Hallo!

Aufgabe:  Ich soll die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen bestimmen.

Das habe ich auch getan, aber ich komme nicht auf das richtige Ergebnis. Wenn ich meine Lösung mit dem online Rechner vergleiche, dann stimmt‘s nicht ganz. Was ist hier falsch??

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Meine Lösung lautet:

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \)

Demzufolge lautet die Lösung EV= s* (-1 -1 -1), also da wo eine 0 ist, kommt  -1, richtig?

Nur kann ich nicht nachvollziehen, warum dieses Ergebnis nicht korrekt ist…

Answer 1

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&-1\\1&0&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\1&0&-1\\1&0&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

Für λ=0 fällt Zeile 3 raus - x3 freie Variable

Für λ=2 fallen Zeile 2/3 raus - x2,x3 freie Variablen

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}-x3&x3\\x3&x2\\x3&x3\\\end{array}\right)\)

==> \(\small EV \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\1&1&0\\1&0&1\\\end{array}\right)\)

Comments

Achsooo, so ist das gemeint.

Aber wenn ich das händisch berechne, dann kommt für lmbda=3 die EV (2 0 -1) und (2 -1 0) raus. Und wenn ich bei beiden die Probe mache, dann stimmt's. Warum haben wir bei Geogebra den EV (0 2 -2) ??

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https://www.mathelounge.de/992533/eigenwerte-und-eigenvektoren-folgender-matrizen-bestimmen?show=992843#c992843

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Ehrlich gesagt, versteh ich das leider noch nicht.

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Deine Aufmerksamkeitsspanne ist aber extrem kurz, sei mir net bös.

Weiter oben haben wir herausgearbeitet, das die Eigenvektoren von der Wahl der unbestimmten Variablen abhängig sind und das auch linear unabhängige Vektoren die aus den Basisvektoren eines Eigenraumes gebildet werden als Eigenvektoren taugen.

Außerdem läßt sich ganz einfach nachprüfen ob ein Vektor auch Eigenvektor ist! Tu das, wenn Du unsicher bist!

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Ich hab‘s ja überprüpft und meine EV stimmen. Ich versteh nicht von wo der EV (0 2 -2) kommt.