Differenzierbarkeit Frage..

Question

habe eine Frage zu dieser Aufgabe:

Man soll die Ableitung an der Stelle 0 mithilfe des Differenzenquotient  bestimmen:

Wie geht's das hier?

$$f(x)=\frac { 1 }{ sin(x) } -\frac { 1 }{ x } $$

Danke schon mal:)

Answer 1

Da die Funktion an der Stelle x=0 nicht definiert ist, kann sie dort auch keine

Ableitung haben. Oder wird etwa zusätzlich definiert  f(0) = 0 ( stetige

Ergänzung).

In diesem Fall machst du einfach den Differenzenquotienten 

( f(0+h) - f(0) )  /  h      =

(1/sin(h)  - 1/h ) / h   =

1 / ( h*sin(h) )   -  1 / h^2  =

( h  -  sin(h) )  /   ( h^2 * sin(h) )   und das ist für h gegen 0 vom Typ 0/0

und nach dreimaliger Anwendung von de' Hospital erhalte ich

dann 1/6.

Comments

So ist die genaue Funktionsbeschreibung:

$$f:R\rightarrow R:x\mapsto \begin{cases} \frac { 1 }{ sin(x) } -\frac { 1 }{ x } ,\quad x=0 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ,\quad x\neq 0 \end{cases}$$

---

x=0 und  x≠0 ist sicher vertauscht.

---

Okay danke:)

Die Ableitung für x ungleich null wäre dann doch einfach

$$f^{ (1) }(x)=-cos(x)^{ -2 }+x^{ -2 }$$

oder?

---

nein,   1/sin(x)  hat die Ableitung    - cos(x) / sin(x)^2

du musst es dir als 1/x mit :   Für x ist sin(x) eingesetzt

vorstellen und dann die Kettenregel anwenden.

ODER einfach mit der Quotientenregel.