Wie kann ich diese Funktion rückläufig in Linearfaktordarstellung darstellen?

Question

wir haben vor einer Stunde mit der Linearfaktorzerlegung angefangen.

Wir haben besprochen, dass wir damit eigene Funktionen mit von uns gewünschten Nullstellen erstellen können (und dem Faktor a)

Jetzt haben wir eine Übung bekommen, in der wir das quasi Rückwärts machen sollen, statt eine Funktion aus Nullstellen zu bilden, sollen wir eine Funktion in ihrer Linearfaktordarstellung zeigen.

Die Funktion ist:

f(x) = 0,5x^3 + 2,55x^2 + 1,215x - 5,0875

Ich habe die Nullstellen mittels Hornerschema berechnet ( 3Stück: -2,5 ; 1,1 ; -3,7)

Ich weiß jetzt nicht was ich weiter tun soll, einfach 0.5*(x+2,5)(x-1,1)(x+3,7) würde ja nicht gehen, denn der Faktor a ist ja in der gesamten Funktion noch drin, wie kann ich den herausfiltern? Den Faktor haben wir nämlich beim Funktion erstellen mit einem Punkt hineingerechnet, wie soll ich das nun rückgängig machen?

Answer 1

Deine Lösung ist richtig. Der Faktor a=0,5 bleibt erhalten.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+0.5x^3+%2B+2.55x^2+%2B+1.215x+-+5.0875

Comments

Also den Punkt benutzt man wenn man a nicht hat um a zu berechnen aber wenn man es umgekehrt macht und die Funktion berechnet nimmt man einfach die Zahl vorm x^3 als a und schreibt dann das (x-x) ... (x-xn)?

Answer 2

 f(x) =  0.5*(x+2,5)(x-1,1)(x+3,7)

müsste eigentlich (bis auf vermutlich gröbere Rundungsfehler) stimmen, es gibt ja maximal 3 Nullstellen und auch 3 Faktoren bei der Linearfaktorzerlegung. 

Wenn du aber mal mit grösseren Vielfachheiten von Nullstellen zu tun hast: 

"Den Faktor haben wir nämlich beim Funktion erstellen mit einem Punkt hineingerechnet, wie soll ich das nun rückgängig machen? "

Rechne jeden Koeffizienten in f(x) = 0,5x³ + 2,55x² + 1,215x - 5,0875 mal 2.

Also f(x) = 0.5(x^3 + 5.1x^2 .....) 

Dann auch  0.5*(x+2,5)(x-1,1)(x+3,7) ausmultiplizieren und 0.5 draussen lassen. 

Nun vergleichen und schauen, welchen Faktor du hoch 2 nehmen könntest, damit es passt.

Wie gesagt ist die Vielfachheit der vorliegenden Nullstellen nur 1, da du 3 verschiedene gefunden hast.