Gibt es a,b,c,d in R sd f nicht bijektiv ist?

Question

Seien a,b,c,d \(\in \mathbb{K}\). Sei \(f:\mathbb{K}^4\rightarrow\mathbb{K}^4\) die lineare Abbildung mit  Darstellungsmatrix

 

bezüglich der Standardbasis von \(\mathbb{K}\).

Sei \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\).

Gibt es a,b,c,d \(\in\mathbb{R}\) (nicht alle 0) sd. f nicht bijektiv ist?

Sei \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\).

Gibt es a,b,c,d \(\in\mathbb{C}\) (nicht alle 0) sd. f nicht bijektiv ist?

Comments

Tipp: \(\det M=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\).

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dh det M muss gleich 0 sein damit es nicht bijektiv ist. Also gibt es

unendlich viele Lösungen denn a^2+b^2+c^2+d^2 muss einfach 0 geben.

Was aber bei den komplexen Zahlen?

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Im Fall \(\mathbb K=\mathbb R\) existiert für \(\det M=0\) nur die triviale Lösung \(a=b=c=d=0\).
Im Fall \(\mathbb K=\mathbb C\) wähle z.B. \(a=1,b=i,c=d=0\).

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Okay im ersten Fall habe ich es verstanden, wie kommst auf aber auf die Lösungen im zweiten Fall?

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\(1^2+i^2+0^2+0^2=1-1+0+0=0\).