Zeige dass eine Gruppe nicht kommutativ ist (Gegenbeispiel)

Question

Aufgabe:

Finden Sie ein Gegenbeispiel das zeigt, dass die Gruppe (S3; °) aus De -
nition 3.10 nicht kommutativ ist.

Definition 3.10 Eine bijektive Abbildung
                              σ : {1, ..., n} → {1, ..., n}, (n ∈ N)
heißt Permutation (von {1, ..., n}). Weiter setzen wir

                                Sn := {σ : {1, ..., n} → {1, ..., n}, σ ist bijektiv},

die Menge aller Permutationen (von {1, ..., n}).

Für σ ∈ Sn hat sich die folgende definierende Schreibweise etabliert:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ σ(1)  & σ(2)&σ(...)&σ(n) \end{pmatrix} \)

Problem: Ich kann damit so irgendwie Garnichts anfangen bin gerade am vorarbeiten für das nächste Semester und hab dazu auch keine Vorlesung besucht

Ansatz: Eine Gruppe ist nicht kommutativ wenn ∃a,b∈S3:a°b≠b°a

Answer 1

Die Gruppe S3 ist die Gruppe der Permutationen

dreier Elemente, also bijektive Abbildungen von

{1,2,3} auf  {1,2,3}

Diese Abbildungen ände3rn sozusagen nur die

Reihenfolge der drei Zahlen, wenn du die Bilder

von 1,2,3 der Reihe nach hinschreibst, also etwa 2,3,1.

Das wäre ausführlich  (Originale in der

oberen Zeile Bilder in der unteren)    f=

1 2 3
2 3 1

Wenn du nun solche Abbildungen hintereinander ausführst.

etwa   fog  mit  f wie oben und     g=

1 2 3
1 3 2

Dann ist fog =

1 2 3
2 1 3

Denn du musst ja f nach g anwenden, also wird z.B.

die 1 erst Mal durch g auf die 1 abgebildet und dann

diese 1 durch f auf die 2.

entsprechend die 2 letztlich auf 1 etc.

Wenn du nun gof probierst, wirst du sehen:

Das ist nicht das gleiche, also hast du dein

Gegenbeispiel.

Comments

Ich glaube da ist ein kleiner fehler in deiner Lösung, es müsste doch bei

fog=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}

und bei gof=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}

rauskommen?

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oder du hast dich vertan:

fog bedeutet doch z.B.

(fog)(1) =f(g(1)) = f(1)=2 also wird letztendlich

die 1 auf die 2 abgebildet und nicht wie du

sagst auf die 3.

Ich glaube du hast die Reihenfolgen der

Anwendung der Abbildungen verwechselt.

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Ja richtig ich hab es nochmal nachgeschaut, danke für die hilfe