Begründe, dass jede vier-elementige Gruppe notwendigerweise kommutativ ist.

Question

Aufgabe: Begründe, dass jede vier-elementige Gruppe notwendigerweise kommutativ ist.

Problem/Ansatz: Wir sollen argumentieren, dass jede 4-elementige Gruppe (z.B. auch eine Klein'sche Vierergruppe) notwendigerweise kommutativ ist. Wie gehe ich an diese Frage heran?

Comments

Es gibt bis auf Isomorphie genau 2 Gruppen mit 4 Elementen. Die eine ist zyklisch und damit immer kommutativ (trivial), die andere hat nur Elemente von Ordnung höchstens 2 (Elementordnung in endl Gruppen teilt immer Gruppenordnung, da nicht zyklisch taucht die Elementordnung 4 allerdings nicht auf) und ist somit auch kommutativ:

ab = bbabaa = b(ba)(ba)a = ba

Answer 1

Eine vier-elementige Gruppe muss das neutrale Element n, ein Element a, sein inverses \( \overline{a} \) und ein zu sich selbst inverses b enthalten, Damit liegt die Vernüpfungstafel fest

⊕	n	a	b	\( \overline{a} \)
n
a
b
\( \overline{a} \)

Fülle das Tafelinnere aus und prüfe auf Symmetrie,

Comments

Damit liegt die Vernüpfungstafel fest

Warum das?

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Wenn aber \(\bar a\) = a ist, dann fehlt dir (mindestens) ein Gruppenelement.

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Fülle das Tafelinnere aus und prüfe auf Symmetrie

Könntest du das mal vorführen?