Jede Gruppe mit 4 Elementen ist kommutativ:
Es gilt: in einer Gruppe (G,⊗) hat alle Gleichungen der Form u⊗x = v bzw. x⊗u = v jeweils eine eindeutige Lösung. Insbesondere sind die Inversen und das neutrale Element eindeutig bestimmt. [#]
Die Gruppe G habe nun genau die vier Elemente n, a, b, c mit dem neutralem Element n.
Dann gilt a⊗b = n oder a⊗b = c, denn a⊗b = a bzw. a⊗b = b kann wegen [#] nicht sein, da a⊗x = a und x⊗b =b bereits durch x = n gelöst werden.
Im Fall a⊗b = n gilt b⊗a = n , weil b das inverse Element zu a ist.
Im Fall a⊗b = c gilt b⊗a = c, weil sonst nur b⊗a = n übrig bliebe und a das Inverse zu b wäre, was aber wegen a⊗b=c nicht sein kann.
Gruß Wolfgang
