Du weisst anhand des Graphen, dass gilt
Nullstelle
\( f(3) = 0 \)
Wendepunkt
\( f(1) = -2 \)
\( f'(1) = 0 \)
\( f''(1) = 0 \)
Anhand der Form des Graphen kann man sehen, dass es sich wahrscheinlich um ein Polynom dritten Grades handelt:
\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
\( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)
\( f''(x) = 6ax + 2b \)
Mit den gegebenen Werten erhaelt man daraus:
\( f(3) = 0 = 27a + 9b + 3c + d \)
\( f(1) = -2 = a + b + c + d \)
\(f'(1)=0 = 3a + 2b + c \)
\( f''(1) = 0 = 6a + 2b \)
Nach Loesen des Gleichungssystems ergibt sich:
\( f(x) = 0,25 x^3 - 0,75 x^2 + 0,75 x - 2,25 \)
Das ist gleich der Lösung von Der_Mathecoach. Ich denke er hat sich Gedanken ueber die Wertigkeit des Sattelpunktes gemacht (aehnlich dem Scheitelpunkt bei einer Parabel) und ist daher auf die \( (x-1)^3 \) gekommen. Ebenso ergibt das die \( -2 \) am Ende. Dann noch den Faktor vorne anpassen, damit auch \( f(3) = 0 \) stimmt. Ich weiss nicht, wie man das verallgemeinern kann. Diese Methode, wenn er sie denn so angewendet hat, muss man meiner Meinung nach einfach im Gefuehl haben, bzw. ergibt sich aus Erfahrung.
Sie ist auf jeden Fall eleganter!
Gruss
