Meine Maus war wieder abgestürzt; ich hoffe meine Sicherungskopie ist lesbar.
Oooh freu !!!
2 x ³ - x - 1 = 0 ( 1 )
Gleich als Erstes sollten wir uns die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) zu Gemüte führen. Für positive x haben wir genau eine Lösung zu erwarten; für x < 0 hüllt sich die CV wie üblich in sibyllinisches Schweigen. Was ist da los?
Deine Ausgangskurve ist eine biquadratische Funktion ( BQF ) Für BQF habe ich eine vollständige Kategorienlehre entwickelt; alles gebrauchsfertig für Spickzettel, Regelheft und Formelsammlung. Aus gegebenem Anlass will ich deine Funktion aber in Normalform notieren.
F ( x ) = x ^ 4 - p x ² + q ( 2a )
p = 1 ; q = 0 ( 2b )
Die Topologie der Kurve wird ausschließlich bestimmt von dem Parameter p. Und zwar bedeutet in unserem Fall p > 0 W-Form; die Seitenspitzen dieses W entsprechen den ( absoluten ) Minima
x1;2 ( min ) = -/+ sqr ( p/2 ) = -/+ 1/2 sqr ( 2 ) ( 2c )
Sei zunächst x > 0 . Positive Steigung haben wir nur rechts von x2 ( min ) Dann wächst die Steigung unbeschränkt. Die CV hat schon Recht; wir finden genau einen Punkt x0 , wo die Tangente unter 45 ° ansteigt. Nachher, wenn wir ( 1 ) lösen, müssen wir nur Acht passen, dass auch die Bedingung
x2 ( min ) < x0 ( 3 )
eingehalten wird. Für negative x haben wir positive Steigung in dem Intervall
x1 ( min ) < x1 ( w ) < 0 ( 4a )
Du siehst: Es hängt an der Wendetangente. Steigt diese steiler an als 45 ° , haben wir zwei Lösungen; im Grenzfall = 45 ° stellt der WP selber die Doppellösung dar. Verläuft jedoch die Wendetangente flacher, gibt es in dem Intervall ( 4a ) keine Lösung - und diese letztere Alternative wird sich als richtig erweisen. Damit ist aber auch klar, warum die CV keine Aussage machen kann. Ich geb dir grad noch die Koordinate des WP , damit du es selbst überprüfen kannst. Und zwar wird im Hinblick auf ( 2c ) strengste Proportionalität eingehalten
x ( min ) = x ( w ) sqr ( 3 ) ( 4b )
x1 ( w ) = - 1/6 sqr ( 6 ) ( 4c )
Doch nun zu Bedingungsgleichung ( 1 ) selbst. In der Algebravorlesung lernt man ja die Alternative: Entweder ist eine kubistische Gleichung prim, das ===> Minimalpolynom ihrer Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab - wir haben Glück; Letzteres ist der Fall.
Aktuell ist dieser Umstand von aller größter Bedeutung; schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Halt Stop; erst müssen wir noch etwas klären. Die Behauptung von Wiki, der SRN stamme von Gauß, stellt eine dreiste Fälschung dar. Gauß ist doch Kult; wie kommt es dann, dass dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen hat; dieser im matematischen Alltag der Schüler keine Spuren hinterlässt?
Wiki versucht hier Glaubwürdigkeit vorzuspiegeln, imdem an prominenter Stelle Zitate von 2006 platziert wurden; die ältesten Zitate stammen aus den 1990-ern.
Was du als Schüler noch nicht wissen kannst: Seriöse Algebraliteratur ist alleine Artin und v.d. Waerden ( 1930 )
Erst vor wenigen Tagen erfuhr meine Position eine unerwartete Stärkung. Da brachte ich noch ausführlichere Gegengründe gegen Gauß vor. Plötzlich meldete sich ein ===> Beckmesser zu Wort, ein zugegeben seriöser, über jeden Zweifel erhabener Fachmatematiker, der an einer reinen Formalie meiner Darstellung Anstoß nahm. Er unterließ es wohlweislich, das Haupttema SRN auch nur zu streifen geschweige auf meine Fälschungsvorwürfe einzugehen.
Eine Erfahrung, die ich im Übrigen seit Jahren machen muss. Es gibt ja User, welche selber Studienräte sind. Keiner von ihnen hat mir je geantwortet
" Das ist doch Asbach; stammt übrigens von Gauß. "
Sondern nachdem ich den Herrn Studienrat wiederholt belehrt hatte - Schweigen. Keiner von denen hielt es für Nötig, meine Erkenntnisse weiter zu geben. Sieht so aus, dass die Herren den Vorsatz hegen, auch ihre Klassen dumm sterben zu lassen.
Du siehst es auch daran. Über das Raten von Nullstellen grinsen Schüler ja immer so hämisch, weil sie ganz deutlich spüren, dass sich Raten nicht motivieren lässt. Dagegen der SRN erlaubt ja Raten mit System; die Anzahl der Kandidaten bleibt in jedem Falle endlich. Im Falle deines Polynoms ( 1 ) lautet das Absolutglied Eins; zugelassen sind nur Stammbrüche. Ich will dir mal vorführen, welch eminent praktische Bedeutung dass dem SRN zukommt. Wegen der Randbedingungen ( 3:4a ) sind nämlich die Vorzeichen eindeutig; es muss heißen
x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 1 ( 5a )
Du machst hier eine ganz neue Erfahrung; " notwendige Bedingung für Extremum " kennst du. Ich " lerne " dir notwendige Bedingungen für Nullstellen . . .
Wäre z.B. denkbar, dass Polynom ( 1 ) beide Nullstellen x1;2 besitzt? Nein; dem steht der Satz von Vieta entgegen in folgender Form:
a2 € |Q ; a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 5b )
a2 ist rational, weil du in ( 1 ) ein rationales Polynom hast. Dann müsste auch x3 rational sein.
Fallunterscheidung. Entweder x3 ist ein dritter Zahlenwert ungleich x1;2 . Geht nicht, hatten wir in ( 5a ) gesehen. Denkbar wäre allerdings, dass x1 oder x2 doppelte Wurzeln sind.
Nein; ist nicht denkbar. Im Zusammenhang mit ( 4a-c ) hatte ich dir nämlich auseinander gesetzt, dass als einzige Doppelnull nur der WP in Frage kommt; und der ist irrational.
Gleich in der Woche, nachdem ich vom SRN erfuhr, gelang mir eine ( zunächst empirische ) Entdeckung; eine direkte Verallgemeinerung der SRN Aussage. Sei f ( x ) € |Z [ x ] ein ===> primitives Polynom ( ganzzahlig gekürzt ) Sei ferner x0 € |Q eine rationale Nullstelle. Dann muss die von x0 induzierte Hornerfolge GANZZAHLIG sein:
p < n > ( f ; x0 ) € |Z ( 5c )
Willst du z.B. testen, ob x1 eine Lösung von ( 1 ) ist, BRICHST DU AB , so bald Onkel Horner auf einen ungeraden Term brettert:
p3 ( f ) := a3 ( f ) = 2 ( gerade ) ( 6a )
p2 ( f ; - 1/2 ) := - 1/2 p3 + a2 ( f ) = - 2/2 + 0 = ( - 1 ) ( UNgerade ) ( 6b )
In diesem Fall erreichen wir also sehr schnell die Abbruchbedingung.
Langer Rede kurzer Sinn: x0 = 1 ist Lösung. Wir wollen doch weiter nix wie zeigen, dass die beiden anderen Wurzeln komplex ( konjugiert ) sind. Ich schlage vor den Satz von Vieta. Doch verbirgt sich hier für Schüler eine spezielle Falle; im Gegentum zu der robusten Polynomdivision musst du bei Vieta immer die NORMALFORM von ( 1 ) zu Grunde legen:
x ³ - 1/2 x - 1/2 = 0 ( 7a )
( max Zeichen )
