Rechenweg von Integral cos^2

Question

ich könnte mich dabei tot rechnen.

In dutzenden Foren, sowie in einer Frage hier auf dieser Internetseite von

∫sin^2 in den Grenzen von 0 bis π,  wird angegeben sin^2 + cos^2 =1

Aber ich komme damit nicht weiter. Am ende steht bei mir immer ganz recht ∫(1-cos^2) (je-nachdem mit welcher partiellen Formel man rechnet) und dann habe ich wieder den salat. 

Laut Integralrechner kommt etwas mit 1/2 raus. warum?

Answer 1

Hi mic,

mit part. Integration:

∫cos²(x) dx=∫cos(x)*cos(x) dx=cos(x)*sin(x)-∫-sin(x)sin(x) dx

=cos(x)*sin(x)+∫sin(x)sin(x) dx=cos(x)*sin(x)+∫1-cos^2(x) dx

 

∫cos²(x) dx=cos(x)*sin(x)+∫1-cos^2(x) dx  |+∫cos^2(x)

2∫cos²(x) dx=cos(x)sin(x)+x

∫cos^2(x) dx=(cos(x)sin(x)+x)/2

 

Damit kommst Du nun auf π/2 (und nicht etwa auf 1/2).

Grüße

Comments

Hi, 

was hast du denn im 2.Absatz gemacht? ich verstehe das nicht.

∫cos2(x) dx=cos(x)*sin(x)+∫1-cos^2(x) dx  |+cos^2(x)

Kann man im Integral einfach +cos^2 machen sodass es 0 ergibt und die "1"alleine da steht und das aufgeleitet ist x.

Warum ist in der nächsten Zeile die 2 vor dem Integral? woher kommt die?

2∫cos2(x) dx=cos(x)sin(x)+x

Kann man die 2 vor dem Integral durch eine Regel, welche ich bisher noch nicht kenne in den Term durch Teilen einfügen?

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Das hat

∫cos2(x) dx=cos(x)*sin(x)+∫1-cos²(x) dx  |+∫cos²(x)

heißen sollen ;). Immerhin ist ∫a+b=∫a+∫b. Dann das Integral rüber und es ist links zweifach vorhanden. Das noch durch 2 dividieren und fertig.

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ja stimmt das zeichen habe ich übersehen. Ich habe noch paar Fragen.

∫cos^2(x) dx=cos(x)*sin(x)+∫1 +∫cos^2                das Integral rüber schieben. Warum aber nicht -∫cos^2 damit es auf die andere Seite kommt?

2∫cos^2 = cos*sin +x        :2

=(cos*sin+x )/2

warum nicht durch cos^2 teilen?

Interessant. Ich wusste nicht, dass man das Integral auf die andere Seite bringen kann.

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Der Fehler lag bei mir und nicht bei Dir. Hatte es gerade editiert ;).


Nun Du hast doch MINUS cos^2(x) auf der rechten Seite. Warum willst Du da subtrahieren? Es wird natürlich addiert ;).


Der Cosinus der linken Seite steht im Integral. Er ist von dem Integral abhängig! Du kannst also nicht einfach durch cos^2(x) teilen, da ja sonst die Wirkung des Integrals nicht auf den Cosinus entfaltet werden könnte. Die 2 hingegen ist konstant. Nicht vom Integral abhängig. Eine Division dieser ist kein Problem. Ohnehin ist das doch angenehm -> Nach der Division der 2 steht alles da, wie wir es wollen ;).


Diesen Trick, welchen wir angewandt haben, solltest Du Dir unbedingt merken. Bei trigonometrischen Integralen ist ein solcher sehr beliebt :).

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Das ist ja Hammer

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Dann weißt Du ja nun ab sofort wie Du den Trick/die Anwendung verwenden kannst :).

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Hi,

Kann mir hier vielleicht jemand den genauen Rechenweg vom Integral sqrt(x/(x+1)) dx erläutern/ aufschreiben? Ich poste das hier, weil ich auch über die Substitution bei den Cos bzw. Sinussbleitungen lande. Hier passt dann irgendwas bei mir nicht

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@Gast ia1811 Das ist hier nicht der richtige Platz dafür. Erstelle dazu eine eigene Frage.