Genügt die Funktion L der Funktionalgleichung? L(xy) = L(x) + L(y)

Question

Betrachte die Funktion \(L:[1,\infty)\rightarrow\mathbb{R}\) gegeben durch

$$L(x)= \int_1^x \frac{dt}{t}$$

Zeige, dass \(L(x)\) der Funktionalgleichung:

$$L(xy)=L(x) + L(y)$$

genügt. Dabei sind keine Vorkenntnisse der Logarithmusfunktionen vorhanden.

Meine Vorgehensweise:

$$= \int_1^{xy} \frac{dt}{t}    = \int_1^x \frac{dt}{t}    +  \int_1^y \frac{dt}{t}    $$

Weiss nun nicht wie ich das zeigen soll.

Comments

Rechne die linke und die rechte Seite einfach einmal aus (separat).

Dann brauchst du vielleicht noch ein Logarithmengesetz.

fertig.

---

wie kann ich das Integral von 1/t bilden ohne dass ich Vorkenntnisse der Logarithmen habe

---

Ups. Danke für die Präzision. "Antwort" ist nun Kommentar.

Deine letzte Zeile hat mich irritiert.

Schreibe da kein GLEICH vorne hin. Das ist ja wohl die Behauptung.

Versuch mal die rechte und die linke Seite der Behauptung als Riemannsche Summen hinzuschreiben.  Da könnte sich dann etwas basteln lassen.

Answer 1

So wie die Funktion definiert ist, hast du jedenfalls, dass sie differenzierbar ist

und  L ' (x) = 1/x  .

Ist nun y irgendeine Zahl ≥ 1 , dann ist nach der Kettenregel

L ' (xy) =  1 / xy  * y   =  1/x

L(x) und L(xy) haben also die gleiche Ableitung und unterschieden sich deshalb nur um eine

Konstante c.  Du hast also  L(xy) = L(x) + c 

und für x=1 siehst du, dass c= L(y) ist, denn L(1) = Int. von 1 bis 1 ... = 0.