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Wir haben die gerade

g:= vektor(5/3)+k*vektor(1/2) und der Punkt (3/4) ist gegeben


Geben Sie die Parameterform an welche durch den Punkt verläuft und orthogonal (senkrecht)  zu g ist

Zusatz

Geben Sie die Koordinaten der spiegelung von p an g an

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die Gerade h durch P, die auf g senkrecht steht, hat den Richtungsvektor  \(\vec{u}\) = \( \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)  (Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g = 0)

Eine Parameterform ist also:  h:  \(\vec{x}\) = \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Der Schnittpunkt L von g und h ergibt sich aus 

\( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) + k • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

→   k + 2r  = -2  und 2k - r = 1  →  k = 0 und r = -1  →  L(5|3) 

Der Spiegelpunkt P ' von P an g  hat den Ortsvektor \(\overrightarrow{OP'}\) = \(\overrightarrow{OL}\) + \(\overrightarrow{PL}\)

→  \(\overrightarrow{OP'}\) = \( \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}\)

→  Spiegelpunkt  P ' (7 | 2)

Bild Mathematik

Man könnte hier in der Ebene natürlich auch mit Geradengleichungen der Form y = mx + n rechnen.Die oben angewendete Vektorrechnung hat aber den Vorteil, dass sie sich problemlos auf Geraden im Raum erweitern lässt.

Gruß Wolfgang

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