Aufstellen einer Geradengleichung in Parameterform

Question

wenn man eine Geradengleichung in Parameterform (in der Ebene) angeben muss, kann der Richtungsvektor und somit auch der fixe Punkt auf der Geraden nicht immer variieren, also dass es mehrere Lösungen gibt?

z.B.: g: [ P ( 0 I 3 ) , Q ( -1 I -5 ) ]

ist es dann egal, ob mein Richtungsvektor von P nach Q verläuft oder umgekehrt?

Oder ist der erste angegebene Punkt automatisch der Anfangspunkt des Richtungsvektors?

wenn ich sagen würde, der  Richtungsvektor heißt PQ, würde die Geradenggleichung folgend aussehen:

g : x = ( 0 I 3 ) + t  * ( -1 I -8 )

aber wenn ich den Richungsvektor QP  nehme, sähe es so aus:

g: x = ( -1 I -5 ) + t * ( 1 I 8 )

Welche Gleichung ist richtig bzw. sind beide richtig?

Answer 1

Ich würde es so machen, dass die beteiligten Vektoren eine Kette bilden, hier also so:
$$g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP}+t\cdot\overrightarrow{PQ}$$Dies bietet den Vorteil, den Parameter t geometrisch anschaulich interpretieren zu können, ähnlich wie ich das vorhin in "https://www.mathelounge.de/551698/parameterdarstellung-einer-geraden-welche-spielt-parameter?show=551699#a551699" beschrieben habe.

Deine Beispiele verwenden jeweils beide eine Vektorkette. Die erste Variante folgt dem Alphabet, ich würde sie bevorzugen, so wie dies auch gerne in Musterlösungen geschieht, so dass es ggf. eine Vergleichsmöglichkeit gibt.

Allerdings beschreiben beide Varianten, ebenso wie noch unendlich viele andere, dieselbe Gerade g, sind in diesem Sinne also alle richtig.

Answer 2

Hallo

 beide Gleichungen sind richtig, da t ja alle Werte, also auch negative annehmen kann . Nur die Punkt, die du auf g mit positivem t erreichst, sind verschieden.

Gruß lul

Answer 3

  Hat man dir nicht gesagt, dass man einen Richtungsvektor renormieren darf? Wenn v ein Richtungsvektor ist, so auch 2 v , 3 v und 47.11 v ( Warum? )  Du wirst ihn also immer ===> primitiv angeben.

   Kann man mit Mathe eine Gehaltserhöhung verdienen?  Ich schon; als ===>  CAD Programmierer eines Welt-Elektronikkonzerns  schaffte ich den Sprung von 3 100 DM  ( Brutto ) auf 3 700 . Im Gegentum zu allen Kollegen wurden mir die Tarifprozente von dieser Zulage nicht abgezogen, sondern ich bekam umgekehrt den Bonus, dass wenn meinetwegen 3 % vereinbart waren, ich die 3 % auf die vollen " drei sieben " bekam.

   Kleiner Wermutstropfen:  Alle hatten 10 % Leistungszulage, ich nur 3 .

   Wie war dies gekommen? Für die Lötaugen in der CAD sollte ich eine Routine entwickeln, die den Schnittpunkt zweier Geraden ermittelt. Ja und vertikale Steigung 90 ° C hat der Rechner nicht so gerne; ein Kollege witzelte

   " Herr Doktor; programmieren Sie nie ein ' if '  Denn das greift in die Logik ein ... "

   Der liebe Gott macht es uns doch vor. Oder hast du je gesehen, dass sich die Naturgesetze ändern, weil jemand besonders lieb oder böse ist?

    Ich verfiel genau auf den Einfall, die beiden Geraden in Parameterform darzustellen. Nur eben.   Die Ebene |R  ²  kannst du ja auch als Gaußsche Zahlenebene |C  auffassen. Ich programmierte also den Schnittpunkt mit komplexer Algebra.  Denn für seine n_Ecke hatte Gauß die Zahlenebene ja erfunden. Zitat Wunschkonzertmoderator ===> Bodo Jung über seinen Matheschrat

    " Dat hat schon de jroße Jauß jesaht. "

    " Herr Professor; schreibt man Gauß nun mit ' G '  oder mit  ' J ' ?  "

   "  mitt Jee meine Herrn; mit  Jee  ... "

    Die beiden Geraden heißen also jetzt

     g1;2  =  s1;2  +  k1;2  t1;2    ;  s  ,  t  €  |C  ,  k  €  |R        (  1  )

      ( s  =  Startpunkt; t = Richtungsvektor )

Der Vorteil von Komplex:  Das sind ja richtige Zahlen; mit denen kannst du richtig rechnen - anders als bei Vektoren.

   Ich stellte nun eine Schnittpunktsformel in komplexer Parameterform auf, die ich "  komplexer Sinussatz  "  (  KS  )    taufte.  Und für den KS bekam ich wie gesagt von unserem  HAL   " Onkel Bernd "  die Gehaltserhöhung.

   Diese Schnittpunktsformel konnte ich übrigens auswändig lange, bevor ich mir die Mitternachtsformel merken konnte.   Nie wieder brauchst du zwei Unbekannte lösen;  in der Notation  ( 1 )  lautet der KS

        s  :=  s2  -  s1      (  2a  )

                      imag ( s / t2 )

     k1  =   ---------------------------         (  2b  )

                       imag ( t1 / t2 )

     Anmerkungen.

     1)  Noch heute trauere ich der Programmiersprache FORTRAN nach. Fortran ist die einzige Sprache, die Datentyp COMPLEX versteht - und zwar " Generic "

   Wenn du schreibst  "  x  +  y  "  und x ist Datentyp komplex, dann wird der Ausdruck x + y komplexwertig berechnet. Keine andere Sprache versteht Rechenzeichen wie Plus und Mal Komplex.

    2)  Überlege dir, wie man den Namen KS anschaulich rechtfertigen könnte.

    3) Und jetzt zu deiner Frage.   k1 gibt doch die Lage des Schnittpunkts bezogen auf g1 an.  Also darf doch der Wert von k1 nicht davon abhängen, wenn du stattt t2 den Richtungsvektor  ( ß t2 )  benutzt; ß €  |R  Wie drückt sich das aus in ( 2b ) ?

Comments

ich danke auch dir für deine Antwort, auch wenn ich leider zugeben muss, dass die Intelligenz einer 15-Jährigen, Matheinkompetenten wohl noch nicht ausreicht um sie wirklich zu verstehen.

ich wünsche dir noch einen schönen Tag, viel Glück im Beruf und eine hohe Leistungszulage.

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  Ach ich hab ja ganz vergessen, Werbung für meinen KS zu machen. Wer von euch weiß schon die Vorteile des Eulersatzes zu nutzen?

   Weil wenn du einen Richtungsvektor durch seinen Winkel gegeben hast. Dann schreibst du doch einfach t = exp ( i ß )  Bei Dreiecksberechnungen kannst du dann unmittelbar den Schnittpunkt als Finktion der beteiligte  Winkel ausdrücken.

   Hier in Mathelounge kam beispielsweise folgende Aufgabe. Wir betrachten ein Dreieck; seine Seite c falle zusammen mit der Abszisse eines cartesischen Achsenkreuzes.  Was ist dann die Ordinate des Höhenschnittpunktes ( Ortozentrum ) ?

   Umkreisaufgaben ( Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ) mache ich grundsätzlich über den KS  ;  ein rechter Winkel wird konstruiert durch Multiplikation mit der imaginären Einheit   i  .

   Dann gibt es - oder besser gab es ein Portal, dessen Klarname hier nicht zitiert werden darf, weil es immer noch als Konkurrenz empfunden wird. Die beschäftigten beispielsweise einen Könner aus Mannheim, der analog Wolfram eine eigene Homepage betreibt und dessen Logo der ===>  Wittgensteinsche  ===>  HE_Kopf war.

   Und die brachten mal folgende Aufgabe:

   Ein Dreieck habe Winkel ß = 45 °  Der Winkel zwischen Seite b und der Seiten halbierenden s  (  b  )  betrage eben Falls  45  °

   Wie groß sind Alfa und Gamma?

   Hier blieb der  KS  Konkurrenz los   Sieger.

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  Reizende   ===>  Schamandra  ;

   in deinem Alter hätt ich sowas nicht nur nicht gekonnt, sondern es hätte mich auch nicht die Bohne intressiert.  A Propos  15  ;  unser ===>  Feuerzangen Lehrer in oiiiigaaanischer Kämmie ( Wir hatten ihn in Kl. 12 mc . Er war so seltsam Distanz los; entgegen der Vorschrift bestand er immer noch darauf, uns zu duzen. )

   " Einem 15-jährigen kannstoo nächt  tie Wahrheit ßßaggen.

   Auch äch war ja mal jong;  oond da frackte äch mäch: Was will uns der Depp da vorne eigentlich sagen? -  Ja Roland? "

   ( Lispelt stark )  " Aber Herr Seifert; mir duuun sie doch für kaaan Depp net halte ... "

   Seifert läuft Puter rot an; lange ringt er um Fassung.

   " Roland !!! Dass ausgerechnet du das sagst, beweist mir, dass DU mich bestimmt für einen hältst ... "

   Was bist du? Kl. 9 oder 10?

Weil in dem Alter bist du doch noch eindeutig zu jung für Vektorräume.  In deinem Alter - noch dazu bei Jungs - waren Flegeljahre angesagt und Fez ohne Ende.

     Als Klassenraum mussten wir mit einem Biokeller vorlieb nehmen ( Das waren damals die Geburten starken Jahrgänge ) Wann immer sich die Lehrer bei unseren Eltern beschwerten, beauftragten diese ihren Anwalt, dem Direx einen geharnischten Brief zu schreiben

   " Mit Entsetzen erfahre ich, dass mein Sohn nicht mal ein ordentliches Klassenzimmer hat. Er kann sich nicht auf die Schule konzentrieren, fühlt sich nicht beaufsichtigt; und an seinen schlechten Leistungen sind alleine Sie schuld. "

   Und da war unsere Sozilehrerin Frau Bickel. Da es in einem Biosaal keine Zwischengänge gibt, hakte sich jede Reihe unter; dann schunkelten wir und grölten den Song

   " Ja im Wald da sind die Räuber; halli hallo die Räuber .... "

   Frau Bickel wartete dann immer ab, bis wir uns beruhigt hatten. Aber wenn sie versuchte, weiter zu sprechen, grölte die ganze Klasse los vor Lachen

    "  Buuuu -  huuuu -  haaa -   haaa -  haaaa !!!! "

    Dazu trug nänlich nicht unwesentlich bei, dass Frau Bickel in dem roten Hessen Mitglied der illegalen  ===>  KPD  war und bei jeder Gelegenheit der  DDR und ihrer Regierung das Wort redete.

    Bis sie eines Tages den Fehler beging, sich beim Direx über unser flegelhaftes Benehmen zu beschweren. Kennst du das lateinische Sprichwort

   " Quod licet Jovi non licet bovi "  ?

    Der Direx kam nämlich.

    Mit meinen naiven 15 Jahren glaubte ich damals, er werde uns mal die Leviten lesen - von Wegen Räuber und so.

   Mit meinem heutigen " gereiften "  Verstand - das Wort passt wirklich nicht zu mir - muss ich allerdings einsehen: Der Direx hatte sie, also die Frau Bickel, vor einer Klasse von 36 Mann zur Schnecke gemacht für ihre ganzen disziplinarischen Verfehlungen. Er denke nicht daran, für sie die Kohlen aus dem Feuer zu holen.

   Er sprach zu uns nur so verklausuliert, dass du ihm die Kollegenschelte nicht direkt nachweisen konntest; er hielt uns eine sog.  "  Vorlesung über die Rechtsbegriffe aus dem römischen Recht "