Geradengleichung von Parameterform in Koordinatenform

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen.

Wie kann ich die Geradengleichung mit:

g(t) = (1,2,4) +t(-2,2,1)

In Koordinatenform umwandeln?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war:

x1 = 1-2t

x2 = 2+2t

x3 = 4+t

Aber ich komme auf falsche Ergebnisse

Kann mir einer helfen?

Answer 1

Hallo,

im Raum gibt es keine Koordinatenform einer Geradengleichung.

:-)

Comments

wow. Jetzt ist es natürlich geklärt, wieso es nicht funktioniert.

Answer 2

Hallo,

im Raum kannst Du eine Gerade nicht in Koordinatenform mit einer einzigen Gleichung darstellen. Hier benötigt man zwei Gleichungen.

Mein Ansatz war:
x1 = 1-2t
x2 = 2+2t
x3 = 4+t

richtig - und nun eliminiert man das \(t\), indem man eine der Gleichungen nach \(t\) auflöst und in die anderen einsetzt. $$x_3 = 4+t \implies t = x_3 - 4$$Einsetzen in die beiden anderen$$x_1 = 1 - 2x_3+8 \\ x_2 = 2 + 2x_3 - 8$$und ein wenig sortieren:$$x_1 + 2x_3 = 9 \\ x_2 - 2x_3 = -6$$Das Ergebnis ist aber nicht eindeutig! Es kommt z.B. darauf an, welche der drei Gleichungen man nach \(t\) auflöst. D.h. das Ergebnis aus dem Lösungsbuch kann davon abweichen!

Graphisch sieht das so aus:

Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine der skizzierten Ebenen. Und die Schnittgerade der Ebenen ist die Gerade \(g\). D.h. nur ein Punkt, der beide Gleichungen erfüllt, liegt auch auf \(g\).

Gruß Werner

Comments

Okay vielen Dank Herr Werner.

Tatsächlich hatte ich das exakt wie Sie und habe das such in 3D Geogebra eingetippt und war dann verwirrt wieso da ebenen entstehen und keine geraden.

Aber das diese zwei Ebenen also der Schnitt der zwei Ebenen die Gerade bilden, das wusste uch nicht.

Sehr hilfreich. Hat sich auf jeden Fall in mein Kopf eingebrannt.