Geradengleichung in Parameterform

Question

Ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe:

Bestimmen Sie aus der Geradengleichung g1 eine Parametergleichung.

3*y+7*x-11=0  -----> x: A+r*AB

Meine Lösung wäre das (7/3) mein Normalvektor wäre. Dann wähle ich 1 Punkt der Orthogonal zum Normalvektor ist.

Das wäre AB (3/-7) und für den Stützvektor muss gelten 11=11. Also wäre mein Stützvektor A(1.1/1.1). Aber das ist falsch wo liegt mein Fehler?

Comments

Ich versuche mal etwas Manöverkritik:

3*y+7*x-11=0

Die Darstellung ist ungeschickt, besser wäre:

7*x + 3*y = 11

x: A+r*AB

Da von einem Punkt B nirgends die Rede ist, ist er auch entbehrlich. Weiterhin muss der Richtungsvektor auch gar nicht in A beginnen. Gib ihm einfach einen Namen, zum Beispiel \(\overrightarrow{v}\). Weiter muss deutlicher zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren unterschieden werden, der Stützvektor sollte also nicht A heißen, sondern etwa OA.
$$g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{v}$$

Dann wähle ich 1 Punkt der Orthogonal zum Normalvektor ist.

Du wählst keinen Punkt, sondern einen Vektor, der orthogonal zum Normalenvektor ist.

und für den Stützvektor muss gelten 11=11. Also wäre mein Stützvektor A(1.1/1.1).

Mir ist unklar, wie du mit dieser Überlegung auf den Stützvektor kommst. Da er aber offensichtlich die Geradengleichung erfüllt, kann man ihn natürlich auch nehmen:
$$g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1.1\\1.1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-7 \end{pmatrix}$$

Aber das ist falsch wo liegt mein Fehler?

Oft wird ein richtiges Ergebnis mit einer anders aussehenden Darstellung einer Musterlösung verglichen und zu Unrecht verworfen...

Answer 1

Offenbar ist (2 | -1) ein Punkt der Geraden, also ist sein Ortvektor als Stützvektor der Parameterform sicher eine gute Wahl. Wie du auf deine Stützvektor kommst, bleibt unklar, aber dein Richtungsvektor ist ok.

Answer 2

Zwei Punkte sind A(0|11/7) und B(11/3|0). Damit sollte die Parameterform gelingen.

Comments

Wie bist du drauf gekommen? Könntest du mir den Rechenweg zeigen?

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Sei x=0. Dann ist 3*y-11=0 und y=11/3 Punkt (0|11/3).

Sei y=0. Dann ist 7x-11=0 und x=11/7 Punkt (11/7|0)

Meine Punkt waren falsch (shit happens).

Answer 3

Die Antwort ist erstmal, dass an Deinen Überlegungen nichts falsch ist. Der Punkt (-1,6) wäre schöner.

Wo siehst Du einen Fehler?

Answer 4

3y + 7x - 11 = 0
3y = -7x + 11
y = -7/3*x + 11/3

X = [0, 11/3] + r * [1, -7/3]

Natürlich könnte man das auch etwas optimieren. Dazu darf ich ein Vielfaches des Richtungsvektor zum Ortsvektor addieren und den Richtungsvektor mit beliebigen Vielfachen Multiplizieren.

X = [2, -1] + r * [3, -7]

Man kann auch gleich ganzzahlige Lösungen suchen. Dazu betrachtet man den Ausdruck als diophantische Gleichung. Die kannst du dir samt Rechnung z.B. lösen lassen von

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm

Answer 5

Hallo Marco,

3*y+7*x-11=0  -----> x: A+r*AB
Meine Lösung wäre das (7/3) mein Normalvektor wäre.

Das ist richtig!

Dann wähle ich 1 Punkt der Orthogonal zum Normalvektor ist.
Das wäre AB (3/-7)

das ist kein Punkt sondern ein Vektor. Im Gegensatz zum Punkt darfst Du den Vektor frei verschieben. Das Ergebnis ist richtig: $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3\\ -7\end{pmatrix}$$

und für den Stützvektor muss gelten 11=11. Also wäre mein Stützvektor A(1.1/1.1).

Für den Stützpunkt (das ist eher ein Punkt, bzw. Ortsvektor) muss gelten, dass er die gegebene Gleichung erfüllt. Also

$$A =  \begin{pmatrix} a_x\\ a_y\end{pmatrix} \quad \text{mit} \space 3 \cdot a_y+7\cdot a_x-11=0$$ und das ist hier erfüllt $$A =  \begin{pmatrix} 1,1\\ 1,1\end{pmatrix} \quad \text{mit} \space 3 \cdot 1,1+7\cdot 1,1-11= 0$$ Das ist nicht falsch, nur man versucht einen Stützpunkt zu wählen, der ganze Zahlen enthält (wennn möglich). Z.B. \(A= \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix}^T \). Der erfüllt genauso die gegebene Gleichung, wie unendliche viele andere Punkte auch. Die Parameterform einer Gerade ist nicht eindeutig! Und mache Dir mal eine Zeichnung. Das ist äußert hilfreich.

Gruß Werner