Ungleichung (4 - x) / ((x - 3) (x + 1)) ≥ 0 lösen

Question

Hallo ich habe die Ungleichung:

$$ \frac { 1 }{ x-3 } \ge \frac { 5 }{ x+1 }  $$

habe das ganze umgestellt zu:

$$ \frac { 1 }{ x-3 } -\frac { 5 }{ x+1 } \ge 0 $$

$$ \frac { x+1 }{ (x-3)(x+1) } -\frac { 5(x-3) }{ (x-3)(x+1) } \ge 0 $$

$$ \frac { 16-4x }{ (x-3)(x+1) } \ge 0 $$

$$ \frac { (4-x) }{ (x-3)(x+1) } \ge 0 $$

Jetzt könnte man doch die Vorzeichentabelle verwenden oder?

$$ \begin{matrix} (-\infty ,-1) & (-1,3) & (3,4) & (4,\infty ) &  \\ + & + & + & - & (4-x) \\ - & + & + & + & (x-3) \\ - & + & + & + & (x+1) \\ + & - & + & - & GesamtZeichen \end{matrix} $$

Comments

Ist das soweit richtig?

Answer 1

Sieht gut aus!

Und stimmt mit dem Resultat von 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x-3)+≥+5%2F(x%2B1)

überein. 

mit der 2. "alternate form" wäre es vielleicht etwas kürzer gegangen. 

Bei deinem Resultat musst du noch die "Endpunkte" genauer ansehen. Offenbar kommt da x=4 noch dazu. 

Comments

Ah cool, das freut mich. ich markiere das mal als beste Antwort!

Das mit: $$ \left( 3,4 \right]  $$ ist ein guter Hinweis!

Zusätzlich würde mich noch interessieren, wäre es noch einfacher gegangen?

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Mir scheint deine Rechnung schon sehr einfach. 

Alternative

Wenn du 

f(x) = 1/(x-3) 

und

g(x) =  5/(x+1)

inkl. Asymptoten skizzieren kannst:

~plot~1/(x-3) ; 5/(x+1); [[12]]; x=3;x=-1~plot~

könntest du von vornherein 

(-unendlich,-1) u ( 3, x] 

ansetzen und nun einfach noch 1/(x-3) = 5/(x+1) lösen, um x=4 zu bekommen. 

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Ah das wusste ich nicht, also kann ich die beiden Brüche auch separat betrachten?

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Ja. Aber natürlich beide ins gleiche Koordinatensystem nehmen. 

Und dadurch, dass du bei "=" nur eine Lösung findest, hast du gleich noch bewiesen, dass sich die Graphen weiter aussen (links und rechts)  nicht mehr schneiden.