Ungleichung |x-2|<x^2-2x lösen

Question

Hallo ich habe die folgende Ungleichung:

|x-2|<x^2-2x

Ich habe jetzt zunächst eine Fallunterscheidung gemacht

Fall 1:

x-2>=0

x>=2

x-2<x^2-2x

x^2-3x+3>0

(x-2)(x-1)>0

Vorzeichentabelle:

$$ \begin{matrix} (-\infty ,1) & (1,2) & (2,\infty ) &  \\ - & - & + & x-2 \\ - & + & + & x-1 \\ + & - & + & ges \end{matrix} $$

Fall 2:

x-2<0

x<2

-x+2<x^2-2x

x^2-x-2>0

(x-2)(x+1)>0

$$ \begin{matrix} (-\infty ,-1) & (-1,2) & (2,\infty ) &  \\ - & - & + & x-2 \\ - & + & + & x+1 \\ + & - & + & ges \end{matrix} $$

L1 (-unendlich, 1)und(2,unendlich)

L2 (-unendlich, -1)und(2,unendlich)

Schnittmenge:

Lges(2,unendlich)

Ist das soweit richtig oder ist in der Rechnung etwas falsch? Ich habe aktuell noch das Problem mit der gemeinsamen Lösung...

Answer 1

die Schnittmenge L₁ ∩ L₂  ist    ] -∞ ; -1 [  ∪  ] 2 ; ∞ [

und das ist das richtige Ergebnis

Gruß Wolfgang

Comments

Ah da lag ich ja mit 2 und unendlich schon mal nicht falsch... Aber woher weiß man, dass es -unendlich und -1 ist und nicht -unendlich und 1

Die Tabelle sagt ja dass -unendlich,1 auch richtig ist?!

Kann es sein, dass es deswegen ist: -1 ist in -unendlich und 1 enthalten?

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Die Schnittmenge besteht nur aus den Zahlen, die gleichzeitig in L₁ und L₂ liegen.

] -1 ; 1 [ liegen aber nur in L₁

Außerdem musst du die Intervallklammern wegen des <-Zeichens "offen" schreiben, also ]a,b[ oder )a,b(,

weil die Randpunkte der Intervalle nicht dazugehören.