Lösen einer Ungleichung mit Betragsstrichen: 1-((6(x+3))/(|4+2x|))> -1

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie jeweils alle reellen Zahlen x∈ℝ, die der angegebenen Ungleichung genügen

1-((6(x+3))/(|4+2x|))> -1

Stellen Sie die jeweilige Lösungsmenge als Vereinigung von Intervallen dar und geben Sie jeweils das Supremum und Infimum an. Existieren Minimum und Maximum?

Problem/Ansatz:

Hallo. Könnte mir jemand die einzelnen Schritte vorrechnen ? Ich bin unsicher, wie ich mit den Betragsstrichen umgehen soll. Außerdem weiß ich nicht, was mit Supremum/Infimum gemeint ist.

Answer 1

Ist die Gleichung so richtig

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1-6%28x%2B3%29%2F%7C4%2B2x%7C%3E-1

Dann wäre die Lösung x < -2.6 und damit ließe sich die Lösung als ein Intervall darstellen und man braucht keine Vereinigung von Intervallen.

Du könntest eine Fallunterscheidung machen.

Fall 1: 4 + 2·x > 0 --> x > -2

   1 - 6·(x + 3)/(4 + 2·x) > -1 --> -5 < x < -2

Fall 2: 4 + 2·x < 0 → x < -2

   1 + 6·(x + 3)/(4 + 2·x) > -1 --> x < -2.6 ∨ x > -2

Bekommst du das hin?

Comments

Infimum und Supremum

In der Mathematik treten die Begriffe Supremum und Infimum sowie kleinste obere Schranke bzw. größte untere Schranke bei der Untersuchung halbgeordneter Mengen auf. Anschaulich ist das Supremum eine obere Schranke, die kleiner als alle anderen oberen Schranken ist. Entsprechend ist das Infimum eine untere Schranke, die größer als alle anderen unteren Schranken ist. Wenn ein Supremum oder Infimum existiert, ist es eindeutig bestimmt. Das Konzept wird in unterschiedlichen Abwandlungen in fast allen mathematischen Teilgebieten verwendet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

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Zunächst mal danke für die Antwort.

Ich hab es folgendermaßen versucht:

1-\( \frac{6(x+3)}{|4+2x|} \)>-1                            I -1

-\( \frac{6(x+3)}{|4+2x|} \) >-2                             I·|4+2x|

-6x-18>-2·|4+2x|

Jetzt die Fallunterscheidung:

1.Fall:                                2.Fall:

-6x-18>-2·(4+2x)               -6x-18>-2·(-(4+2x))

⇔x<5                                ⇔x<-13

Das ist allerdings was anderes als das, was der Rechner als Lösung ausspuckt... vlt könntest du mir sagen wo der Fehler in meiner Rechnung liegt ?

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Dein letzter Rechenschritt ist beide Male falsch.

-6x-18>-2(4+2x)

-6x-18>-8-4x

-2x>10

x<-5

-6x-18>-2(-(4+2x))

-6x-18>8+4x

-10x>26

x<-2.6

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Oh ja hab das minus vergessen bei x<-5.. aber was ist mit dem 2.Fall?

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Du löst deine Gleichungen verkehrt

- 6·x - 18 > - 2·(4 + 2·x) --> x < -5 !!

- 6·x - 18 > - 2·(- (4 + 2·x)) --> x < -2.6 !!

Wo du genau da den Fehler hast kann ich nicht nachvollziehen, da ich die Rechnung nicht kenne. Aber du kannst dir beide Ungleichungen mit Photomath schrittweise vorrechnen lassen.

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Achsoo das ist der Fehler... danke für die Zeit und Mühe!

Answer 2

Wenn du das zuerst einmal plottest, siehst du, dass x<-2.6 sein muss.

Zunächst einmal würde ich die Terme vereinfachen.

1-((6(x+3))/(|4+2x|))>-1

\(1-\frac{6(x+3)}{|4+2x|}>-1\)

Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich das Relationszeichen nicht.

\(2>\frac{6(x+3)}{|4+2x|}\)

\(2>\frac{6x+18}{|4+2x|}\)

\(1>\frac{3x+9}{|4+2x|}\)

\(|4+2x|>3x+9\)     

Da der Betrag positiv ist, ändert sich das Größer-Zeichen beim Multiplizieren nicht.

Nun müssen zwei Fälle betrachtet werden:

\(4+2x>0\) und \(4+2x<0\)

bzw.
\(x>-2\) und \(x<-2\)

1. \(x>-2\)

\(4+2x>3x+9\)

\(-5>x\) 

2. \(x>-2\)

\(-4-2x>3x+9\)

\(-13>5x\)

\(-2.6>x\)

Ergebnis: \(x<-2.6\)

 

\(x<-5\) ist damit auch erfüllt.

Ein Minimum oder Maximum existiert nicht, da das Intervall nicht geschlossen ist, also 2.6 nicht zur Lösungsmenge gehört.

2.6 ist das Supremum, da es die kleinste obere Schranke ist.

PS: Da mein Studium schon ein paar Jahrzehnte her ist, musste ich den Begriff Supremum bei Wikipedia nachschlagen. Funktionen plotten kann man übrigens mit desmos ganz hervorragend. Als "Digital Native" weißt du das aber bestimmt selbst.     ;-)

Comments

Sorry, habe deine Antwort vorhin gar nicht gesehen. Wie man auf x kommt hab ich mittlerweile verstanden, hatte nur einen ärgerlichen Rechenfehler:/. Trotzdem danke auch an dich für deine Zeit und Mühe, der Teil mit Supremum/ Infimum und Maximum/ Minimum war in der obigen Antwort ja noch nicht so ausführlich aufgeführt. :)

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@JS:

Darum habe ich mich auch etwas gewundert. :-)