Abelsche Gruppe beweisen

Question

Aufgabe:

"Sei (G,∗) eine Gruppe. Für alle a ∈ G gelte a ∗ a = e. Zeigen Sie, dass G abelsch ist."

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass abelsche vom Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, inversem Element und neutralem Element "abhängig" ist. Jedoch bräuchte ich einen Denkanstoß, wie ich eine abelsche Gruppe beweisen kann.

Answer 1

Nein, da liegst du falsch. Um zu zeigen, dass G abelsch ist, genügt es nachzuweisen, dass für alle a,b in G a*b=b*a gilt (also das Kommutativgesetz). Alle anderen Gruppeneigenschaften sind schon erfüllt, da G nach Voraussetzung eine Gruppe ist.

Seien also a,b in G

Dann gilt (ab)(ab)=e da x*x=e für alle Elemente => abab=e

=> ababb=eb => abae=b => aba=b => abaa=ba => abe=ba => ab = ba.