Hallo brixx,
das Ganze erscheint wohl für dich unübersichtlich, weil hier lineare Funktionen mit den Vorschrift x ↦ mx+n addiert werden, indem man einfach ihre Funktionsterme addiert:
f1 : ℝ → ℝ ; f1(x) = ax + b ; f2 : ℝ → ℝ ; f2(x) = cx + d
f1 + f2 : ℝ → ℝ ; [ f1 + f2 ] (x) = f1(x) + f2(x) = (ax + b) + (cx + d)
= ax + b + cx + d = (a+c) ·x + c+d = m · x + n
die Summe zweier Funktionen ist aslo wieder eine lineare Funktion
→ Abgeschlossenheit von (F,+)
mit m=0 und n=0 - also x ↦ 0 - hast du die neutrale Funktion fn mit f + fn = f für alle f ∈ F
für x ↦ mx + n ist x ↦ - m ·x - n jeweils die inverse Funktion, weil die Summe x ↦ 0 ergibt.
Für das Assoziativgesetz betrachten wir drei Funktionen
x ↦ ax + b ; x↦ cx + d und x ↦ ux + v
Im Folgenden steht jeweils der Funktionsterm als Kurzbezeichnung für die zugehörige Funktion, weil ja sowieso nur mit den Funktionstermen gerechnet wird:
[ (ax + b) + (cx + d) ] + (ux + v)
In dieser Summe kannst du die "eckigen" Klammern verschieben ( Assotiativgesetz in (ℝ,+) ):
= (ax + b) + [ (cx + d) + (ux + v) ]
→ Assoziativgesetz in (F,+)
→ (F,+) ist ein Gruppe
Wegen (ax + b) + (cx + d) = (cx + d) + (ax + b) nach dem Kommutativgesetz in (ℝ,+) gilt auch in (F,+) das Kommutativgesetz.
(F,+) ist also eine abelsche Gruppe
Gruß Wolfgang