Beweisen Sie die abelsche Gruppe F = l f: R →R l f(x)=mx+b mit m,b €R

Question

Betrachten Sie die Menge F der linearen Funktionen von R nach R, also

F = l f: R →R l f(x)=mx+b mit m,b €R

Weisen Sie nach, dass die Menge F zusammen mit der Addition eine Gruppe bildet. Ist die Gruppe abelsch?

+:FxF→F

(f,g)↦f(x)+g(x)

wobei f(x)+g(x)=mx+b+nx+c mit f(x)=mx+b und g(x)=nx+c, m,n,b,c €R

Ich versteh kein Wort. Wer kann helfen und erklären?

Comments

F = l f: R →R l f(x)=mx+b mit m,b €R

Was ist mit dieser "Pipe" gemeint? Oder vielleicht: Was ist I ? 

---

oh, tut mir leid, dass sollte eine Klammer werden. Musst dir bitte weg denken

---

Mal n Versuch:

Abgeschlossenheit gilt, da wenn b,c,n,m,x aus R sind es auch Summe und Produkt.

Neutrales Element ist 0, da m + 0 = m = 0 + m

Inverses Element: m + (-m) = 0 = (-m) +m

Assoziativgesetz: erfüllt, da (mx + b) + nx + c = mx + (b + nx) +c

Kommutativgesetz: gilt, da mx + b + nx + c = c + nx + b + mx

???

Answer 1

\( f_1 = ax+b \), \( f_2 = cx+d \), \( f_3 = ex+f \).

Abgeschlossenheit: Hat die Summe \( f_1+f_2 \) die Form \( mx+t \) ?

Neurales Element: \( (ax+b)+(mx+n) = (ax+b) \).

Inverses: \( (ax+b) + (cx+d) = (mx+n) \)

kommutativ: \( (ax+b)+(cx+d) = (cx+d)+(ax+b) \) ?

assoziativ: \( (f_1+f_2)+f_3 = f_1+(f_2+f_3) \) ?

Grüße,

M.B.

Comments

hm.... davon versteh ich gar nichts :-(

---

Elemente Deiner Gruppe sind Geraden als Ganzes und nicht die Variablen m oder b.

Außerdem prüfst Du die Abgeschlossenheit (völlig falsch) bgzl. Multiplikation, obwohl Du eine additive Gruppe hast.

Grüße,

M.B.

---

ok, kannst du das vielleicht mal so erklären, dass es jemand versteht, der keine Ahnung von Gruppen hat? Glaube ihr setzt ein mathematisches Grundverständnis voraus, dass ich leider nicht habe. Wusste nicht mal, dass es sich um Geraden handelt, oder was mir diese Information bringt. Dementsprechend hilft mir leider auch diese Antwort nicht weiter.

---

"Betrachten Sie die Menge F der linearen Funktionen ... Weisen Sie nach, dass die Menge F zusammen mit der Addition eine Gruppe bildet. Ist die Gruppe abelsch?"

Lesen solltest Du schon können. Da steht "Menge der linearen Funktionen" und "mit Addition".

Wenn Du Gruppen überprüfen willst, solltest Du auch die Eigenschaften einer Gruppe kennen. Dann:

Welches ist die neutrale Gerade?

Welches sind die inversen Geraden?

Usw.

Grüße,

M.B.

---

Ich kenne die Eigenschaften einer Gruppe, kann sie nur nicht auf diese Eigenschaften übertragen, weil ich gar nicht weiss was ich hier machen soll. Geraden addieren? Gerade plus Gerade ergibt wieder eine Gerade?

Neutrale Gerade.... Ich suche also eine Gerade, die, addiert zu einer zweiten Gerade, als Ergebnis die zweite Gerade hat? Kann man das so sagen? Da fällt mir dann nur 0 ein und bringt mich nicht weiter.

---

so langsam kommst Du dahinter.

Rechne und beweise es.

Grüße,

M.B.

---

Schön, dass du Licht am Ende des Tunnels siehst :-) Ich weiss aber gar nicht wo ich da anfangen soll zu rechnen. Eine 0-Gerade gibt es ja nicht oder seh ich da was falsch?

---

Du hast Terme der Form \(ax+b\). Setze ein und rechne.

Ob das -- geometrisch gesehen -- Geraden sind, interessiert überhaupt nciht.

Grüße,

M.B.

---

was soll ich denn da einsetzen?

---

Terme der Form \(ax+b\) in Deine Gruppenregeln.

Grüße,

M.B.

---

neutrales Element zB ax+b +0  = ax+b = 0+ax+b?

---

für neutral gilt: element+neutrales = element

Du hast immer noch Geraden und keine Zahlen, die Du einsetzen musst. Bestimme also die neutrale Gerade und nicht die neutrale Zahl.

(Außerdem steht der Ansatz bereits (inzwischen weit) oben.)

Grüße,

M.B.

---

ja deine Lösung hab ich da schon gesehen, kann die auch so abschreiben (ax+b) + (yx+f)=(ax+b)Aber davon hab ich immer noch nichts verstanden und wenn ich das so ohne Erklärung abgebe bekomm ich 0 Punkte.Muss da irgendeine Erklärung drunter schreiben, a besten ohne Mathesprache zu benutzen.

---

(wer hat Dir eigentlich Mathematik beigebracht?)

Ansatz Neutrales:

Allgemein steht oben. Konkret bei Dir:

Gegeben ist ein Element der Gruppe \(ax+b\). Gesucht ist das neutrale \(mx+n\), also

\( (ax+b) + (mx+n) = (ax+b) \)

Auflösen:

\( (mx+n) = (ax+b)-(ax+b) = (0x+0) \)

Dein neutrales Element ist also (formal) \(0x+0\) und nicht einfach \(0\).

Grüße,

M.B.

---

:-) Bis zum Abi haben das so genannte Mathematiklehrer versucht :-) Jetzt im Studium versucht es nicht mal mehr jemand, deswegen bin ich ja hier ;-)
Jetzt kann ich mit deiner Rechnung aber zumindest schon mal was anfangen. Aber wieso 0x+0 nicht das gleiche ist wie 0 leuchtet mir nicht ein.  Aber bin schon ganz glücklich, dass mein Denkansatz richtig ist, weiss eben nur nicht wie man das mathematisch richtig aufschreibt

---

die Elemente Deiner Gruppe haben die Struktur \(ax+b\) (das sagte ich bereits mehrmals). Also muss auch Dein Neutrales diese Struktur haben.

Formal ist \(ax+b\) (allgemein) ein Polynom aus dem Ring \(\Bbb R[x]\), während \(0\) einfach nur ein Element aus dem Körper \(\Bbb R\) (d.h. eine "Zahl") ist.

(Formal ist auch \( {5\over1} \) nicht das Gleiche wie \(5\), weil das erste ein Element aus \( \Bbb Q \) (ein Bruch) ist, das andere ein Element aus \(\Bbb Z\) ist. Du tust zwar normalerweise so, als ob beide gleich wären, formal sind sie es trotzdem nicht.)

Grüße,

M.B.

---

Und das inverse Element ist dann

(ax+b)+(cx+d)=(mx+n) umstellen

(cx+d) = (mx+n) - (ax+b)

???

Meine Vermutung war doch richtig,

dass es sozusagen die negative Gerade sein muss. Aber wie schreibt man das auf?

Oder schreibt man dann: da (mx+n) = (0x+0) bleibt -(ax+b)??

---

Halo,

es gilt: Element + Inverses = Neutrales.

Element ist allgemein \(ax+b\), das Neutrale kennst Du, also setze es ein, dann nach dem Inversen auflösen.

Grüße,

M.B.

---

ja dachte eigentlich das hätte ich gemacht

---

(ich habe einen Satz von Dir übersehen.)

Ich würde das Neutrale direkt einsetzen:

\( (ax+b) + (ix+j) = (mx+n) = (0x+0) \)

\( (ix+j) = (0x+0) - (ax+b) = ((-a)x+(-b)) \)

Das ist jetzt wieder ein (engstirniger?) Formalismus. Deine Struktur ist immer noch \(ax+b\).

Sinnvoll ist dann natürlich:

\( ((-a)x+(-b)) = -ax-b = -(ax+b) \).

Und das mit den Geraden ist eine Interpretation, die (auch schon gesagt) unwichtig ist.

Grüße,

M.B.

---

ist vielleicht unwichtig, aber wichtig für mich um zu verstehen, was ich da überhaupt mache. Und bis jetzt bin ich ganz froh, weil schon mal neutrales und inverses so stimmen, wie ich es gedacht hatte.

Zur Abgeschlossenheit, kann man sagen: Wenn (ax+b) € R mus auch (ax+b)+(bx+c) aus R sein, weil die Summe zweier Elemente aus R immer ein Element aus R ergibt?

Wenn ich dafür Zahlen einsetze

(2x+2) + (3x+4) = (5x + 6) und das ist ja wieder (ax+b) (also dieselbe Struktur)

---

\( ax+b \) ist kein Element von \(\Bbb R\), sondern ein Element der Gruppe \(G\). Die Summe muss dann auch \( \in G\) sein (und deren Struktur einhalten).

Grüße,

M.B.

---

:-) oh je

ok, glaub die Gruppen sollen bei mir G heissen, aber aus den reellen Zahlen kommen. So versteh ich das aus der Aufgabe.

Wie gesagt, meine Ausdrucksweise ist fehlerhaft, wichtig ist erstmal das der Gedankengang richtig ist.

Also nochmal:

Wenn (ax+b) € F mus auch (ax+b)+(bx+c) aus F sein, weil die Summe zweier Elemente aus F immer ein Element aus F ergibt?

Wenn ich dafür Zahlen einsetze

(2x+2) + (3x+4) = (5x + 6) und das ist ja wieder (ax+b) (also dieselbe Struktur)

---

aus \( \Bbb R \) stammen nur die Zahlen \(a\) und \(b\), aus denen die Elemente \(ax+b\) der Gruppe \(G\) aufgebaut sind.

Du musst hier aufpassen:

Wenn Du ein einzelnes Element \( (ax+b) \in G \) betrachtest, dann ist hier mit \(+\) die Addition in \(\Bbb R\) gemeint.

Wenn Du zwei Elemente addierst \((ax+b) + (cx+d)\) dann ist hier mit \(+\) (zwischen den Klammern) die Addition in \(G\) gemeint, und die ist oft etwas ganz anderes als die Addition in \(\Bbb R\).

Beweise die Abgeschlossenheit allgemein.

Grüße,

M.B.

---

da hab ich jetzt ehrlich gesagt nur den ersten Satz verstanden...

Ist das was ich geschrieben hab jetzt richtig oder nicht?

Und mal was ganz anderes nebenbei, bist du eigentlich Mathelehrer oder so was in der Art? Wenn ich das überhaupt fragen darf?

---

Problem ist, dass die Addition (aber auch alles andere) unterschiedliche Bedeutung haben kann. Du kannst Zahlen addieren oder Brüche, was schon wieder andere Regeln hat, weil Du dabei erst den Hauptnenner bilden musst. Du kannst auch Vektoren addieren oder Funktionen oder vieles andere. Und hier addierst Du Gruppenelemente.

Wenn Du ein \(+\)-Zeichen hast, musst Du schauen, welche Elemente addiert werden sollen, und welche Regeln dabei gelten, die können jeweils anders sein.

Du hast hier ein \(+\) mit zwei unterschiedlichen Bedeutungen: Einmal als normale Additon in den reellen Zahlen und einmal als Addition zwischen zwei Elementen aus der Gruppe.

Deine Abgeschlossenheit ist im Prinzip richtig, aber es reicht nicht, ein Beispiel anzugeben, Du musst es formal beweisen, also Ansatz und rechnen.

Grüße,

M.B.

---

ja....also ich glaube ich gebe hier auf.Wiss nicht, wie ich (ax+b)+(bx+c) ausrechnen soll, bei mir steht dann da abx+bc und das sieht ja nicht aus wie ax+b.Ich fürchte Mut zur Lücke ist hier alles was noch helfen kann :-)
Trotzdem noch mal vielen lieben Dank für deine Geduld und Erklärungen

---

Hallo Brixx, nicht gleich aufgeben :-) :

die Klammern kannst du einfach weglassen:

(ax+b)+(bx+c) =  ax + b + bx + c  = ax + bx + b + c  =  (a+b) · x + b+c  =  m · x  +  n 

besser: ( ax+b)+(cx+d) = .... =  (a+c) · x + b+d  =  m · x  +  n 

---

Du hast bei \( (ax+b)+(bx+c) \) das \(b\) doppelt, das ist falsch.

Der Term \( abx+bc = ((ab)x+(bc)) \) hat die Struktur, die Du brauchst, auch wenn er völlig falsch ist.

Du sollst rechnen \((ax+b)+(cx+d) \), aber richtig.

Und aufgeben ist immer schlecht, den letzten fehlenden Punkt schafftst Du wohl auch noch.

Grüße,

M.B.

---

Wolfgang!!!! Da bist du ja endlich!!!! :-)

Meinst es gibt noch Hoffnung?

Dann erklär mir bitte den Rest auch noch, du findest immer Worte, die sogar ich verstehe :-)

---

MatheMB.... der letzte Punkt? Es fehlt ja auch noch Assoziativ und Kommutativ. Und die Aufgabe ist auch noch nicht zu Ende, geht gleich noch weiter mit Untergruppen und ich kotz jetzt schon im Akkord!

---

vom Kotzen wird es nicht besser, rechne lieber.

Grüße,

M.B.

---

:-) du siehst ja, dass es vom Rechnen auch nicht besser wird :-)

---

jammer nicht, rechne aus:

\( (ax+b)+(cx+d) = \dots \)

Grüße,

M.B.

---

Du siehst doch, es kommt nix Gescheites raus wenn ich rechne.

Wir sind bei Assoziativ.

( (mx+b) + (nx+c) ) + (ox +d) =  (mx+b) + ( (nx+c) + (ox +d) )????

Und kommutativ

(mx+b) + (nx+c) = (nx+c) + (mx+b)?????

---

Ansätze sind richtig. Rechne jeweils die linke Seite und die rechte Seite aus und prüfe, ob sie gleich sind.

Außerdem fehlt noch die Abgeschlossenheit.

Grüße,

M.B.

---

Assoziativ.

( (mx+b) + (nx+c) ) + (ox +d) =  (mx+b) + ( (nx+c) + (ox +d) )

mx+b+nx+c+ox+d = mx+b+nx+c+ox+d

Beide Seiten sind gleich also gilt Assoziativ.

Kommutativ

(mx+b) + (nx+c) = (nx+c) + (mx+b)

mx+b+nx+c = nx+c+mx+b

mx+nx+b+c = mx+nx+b+c

Beide Seiten sind gleich, also gilt Kommutativ

=> Es ist eine abelsche Gruppe

---

Abgeschlossenheit hab ich schon

(mx+b) + (nx+c) = mx+nx+b+c = (n+m)x +b+c

(n+m)= m     b+c=t

=> mx+t

Ist dieselbe Struktur

---

Steht doch alles in meiner Antwort :-)

---

Wolfgang.... Bei dir versteh ich neutrales und inverses Element nicht, aber das lassen wir jetzt mal weg. Den Rest versteh ich, und hatte ich ja auch schon so vermutet, ich kann es nur einfach nicht aufschreiben als wär ich n Mathematiker :-) sorry :-) vielen Dank :-)

---

Deine Beweise für assoziativ und kommutativ sind falsch. Du lässt die Klammern einfach weg und sagt, es sei gleich, aber genau das sollst Du doch beweisen, nämlich ob Du die Klammern einfach weglassen kannst. Außerdem muss Dein Ergebnis in \(G\) liegen, also auch die Struktur haben.

assoziativ (links):

\( ((mx+b) + (nx+c) ) + (ox +d) = (mx+b+nx+c) + (ox+d) = ((m+n)x+(b+c)) + (ox+d) \)

Hier hat die erste Summe schon einmal die gewünschte Struktur. Weiter:

\( \dots = (m+n)x+(b+c) + ox+d =  (m+n+o)x+(b+c+d) \)

Passt.

Den Rest darfst Du selber machen.

Grüße,

M.B.

---

Also ich gebe jetzt einfach auf. Man muss auch mal einsehen, wenn man was nicht kann :-)

Aber vielen Dank für die geduldige Hilfe, aber ich glaub, hier so über ein Forum ist es für mich zu schwer zu verstehen.

Answer 2

Hallo brixx,

das Ganze erscheint wohl für dich unübersichtlich, weil hier lineare Funktionen mit den Vorschrift x ↦ mx+n  addiert werden, indem man einfach ihre Funktionsterme addiert:

f₁ : ℝ → ℝ ; f₁(x) = ax + b  ;  f₂ : ℝ → ℝ ;  f₂(x) = cx + d

f₁ + f₂ : ℝ → ℝ ;  [ f₁ + f₂ ] (x) =  f₁(x) +  f₂(x) =  (ax + b) + (cx + d)

                                 =  ax + b + cx + d = (a+c) ·x + c+d  = m · x + n

die Summe zweier Funktionen ist aslo wieder eine lineare Funktion

               → Abgeschlossenheit von (F,+) 

mit  m=0 und n=0 -  also x ↦ 0  - hast du die neutrale Funktion  f_n  mit  f + f_n = f  für alle f ∈ F

für x ↦ mx + n  ist  x ↦ - m ·x - n   jeweils die inverse Funktion, weil die Summe x ↦ 0 ergibt.

Für das Assoziativgesetz betrachten wir drei Funktionen

x ↦ ax + b  ;  x↦ cx + d  und x ↦ ux + v 

Im Folgenden steht jeweils der Funktionsterm als Kurzbezeichnung für die zugehörige Funktion, weil ja sowieso nur mit den Funktionstermen gerechnet wird:

[ (ax + b)  +  (cx + d) ]  + (ux + v) 

In dieser Summe kannst du die "eckigen" Klammern verschieben ( Assotiativgesetz in (ℝ,+) ):

=  (ax + b)  + [  (cx + d)  + (ux + v) ]   

→ Assoziativgesetz in (F,+)  

 →  (F,+)  ist ein Gruppe

Wegen  (ax + b) + (cx + d)  = (cx + d)  + (ax + b)  nach dem Kommutativgesetz in (ℝ,+)  gilt auch in (F,+) das Kommutativgesetz. 

(F,+) ist also eine abelsche Gruppe

Gruß Wolfgang