Antwort mit KI erzeugt
Dreiecksungleichung für metrische Räume
Um zu zeigen, dass die gegebenen Abstandsfunktionen metrische Räume definieren, muss neben der positiven Definitheit und Symmetrie auch die Dreiecksungleichung gezeigt werden. Die Dreiecksungleichung besagt, für alle \(x, y, z\) in einem Raum gilt: \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\)
Teil a: Für komplexe Folgen
Gegeben ist: \(d\left(\left(a_n\right),\left(b_n\right)\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \frac{\left|a_{n}-b_{n}\right|}{1+\left|a_{n}-b_{n}\right|}\)
Um die Dreiecksungleichung hier zu zeigen, betrachte eine dritte komplexe Folge \((c_n)\). Wir müssen zeigen, dass:
\(d\left(\left(a_n\right),\left(c_n\right)\right) \leq d\left(\left(a_n\right),\left(b_n\right)\right) + d\left(\left(b_n\right),\left(c_n\right)\right)\)
Durch die Dreiecksungleichung für Beträge haben wir \(\left|a_n - c_n\right| \leq \left|a_n - b_n\right| + \left|b_n - c_n\right|\). Darauf aufbauend benutzen wir die Eigenschaft, dass die Funktion \(f(x) = \frac{x}{1+x}\) für alle \(x \geq 0\) monoton wachsend ist, was bedeutet, wenn \(x \leq y\), dann \(f(x) \leq f(y)\). Hier setzen wir \(x = \frac{\left|a_n-b_n\right|+\left|b_n-c_n\right|}{1+\left|a_n-b_n\right|+\left|b_n-c_n\right|}\) und vergleichen diese mit den entsprechenden Terme von \(d\left(\left(a_n\right),\left(b_n\right)\right)\) und \(d\left(\left(b_n\right),\left(c_n\right)\right)\).
Für jedes \(n\), wird der Ausdruck \(\frac{1}{2^{n+1}} \frac{\left|a_{n}-c_{n}\right|}{1+\left|a_{n}-c_{n}\right|}\) durch die Summe der entsprechenden Ausdrücke für die Paare \((a_n,b_n)\) und \((b_n,c_n)\) beschränkt, da die Summation und die monotone Eigenschaft der Funktion \(f\) dies gewährleisten.
Teil b: Für \(\mathbb{R}\)
Für den zweiten Teil, mit der Definition:
\( d(a, b)=\left\{\begin{array}{cc}d_{+}(a, b) & \text { falls } a b \geq 0 d_{+}(a, 0)+d_{+}(0, b) & \text { falls } a b<0\end{array}\right. \)<br />
Hier teilen sich die Fälle auf, basierend auf den Vorzeichen von \(a\) und \(b\), und wir müssen die Dreiecksungleichung für \(d_{+}\) betrachten.
Für \(d_{+}\) nutzen wir die Eigenschaft: \(d_{+}(a, b)=\sqrt{2} \frac{|a-b|}{(1+|a|)(1+|b|)}\)
Angenommen, wir haben drei Punkte \(a\), \(b\), und \(c\) in \(\mathbb{R}\), dann müssen wir zeigen, dass:
\(d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)\)
Die Strategie ähnelt der im ersten Teil: Man nutzt die Dreiecksungleichung für reelle Zahlen und die monotone Eigenschaft der Funktion \(g(x) = \sqrt{2}\frac{x}{(1+x)^2}\) (entsprechend modifiziert, um die spezifischen Formen in \(d_{+}\) zu handhaben).
Für \(a\), \(b\), und \(c\) mit verschiedenen Vorzeichen müssen die Fälle entsprechend analysiert werden, unter Berücksichtigung der speziellen Form der Abstandsfunktion \(d\), die sich je nach dem Vorzeichen der Produkte \(ab\) und \(bc\) ändert. Man verwendet hier auch die monotone Eigenschaft von \(\frac{x}{1+x}\), um zu zeigen, dass die Addition der Abstände \(d(a, 0)+d(0, b)\) (oder analog für andere Kombinationen) die Dreiecksungleichung erfüllt, selbst wenn man durch Null teilt, um von einem Bereich in den anderen zu "springen".
Zusammenfassend beruht der Beweis für beide Teile auf der Nutzung der Dreiecksungleichung für die Betragsfunktion, der Monotonie von speziell strukturierten Funktionen und der sorgfältigen Betrachtung der Definition der Abstandsfunktionen innerhalb der spezifizierten Domänen.
