3 Vektoren im R^4. Sind diese linear unabhängig?

Question

Es sind die Vektoren x= (2, 0, 2, 1), y= (-1, 1, 3, 1) und z=(2, 1, 0, 3) gegeben.

Sind diese Vektoren linear unabhängig?

Weiß leider nicht wie ich Gleichung nur mit 3 Vektoren im R^4 aufstellen kann.

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Jetzt musst du einfach beide Antworten ganz genau nachrechnen.

Answer 1

r * [2, 0, 2, 1] + s * [-1,1,3,1] = [2,1,0,3]

Man sieht s = 1 und damit 1.5 damit x1 und x2 erfüllt sind

1.5 * [2, 0, 2, 1] + 1 * [-1,1,3,1] = [2, 1, 6, 2.5]

Damit sind die Vektoren nicht linear abhängig.

Comments

aber heißt es nicht, wenn ich einen Vektor mit den anderen Vektoren herstellen kann, ist er linear abhängig?

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Ja. Das heißt es. Und können wir hier ein Vektor mit den anderen herstellen?

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Frikadellen, Brötchen und Hamburger sind linear abhängig weil ich ein Hamburger herstellen kann indem ich eine Frikadelle in ein Bötchen packe. Kommen zum Hamburger aber noch Gurken, Tomaten und Sauce dazu ist es nicht mehr linear abhängig.

Answer 2

a*(2, 0, 2, 1)+b(-1, 1, 3, 1) +c*(2, 1, 0, 3)= 0_vektor gibt

2a - b + 2c = 0
      b  + c  =  0     also      c = - b
2a +3b      = 0 
a  + b   + 3c = 0

In die anderen 3 Gl'en c= - b einsetzen

2a - b -2b = 0
2a +3b      = 0 
a  + b   - 3b = 0   

vereinfachen

2a -3b = 0
2a +3b = 0 
a   - 2b = 0 

Die ersten beiden ergebne schon 4a=0 also a=0

und das eingesetzt gibt auch b=0 zusammen mit

c= - b  auch c = 0.

Also gibt es NUR die Lösung a=b=c=0 also

Vektoren lin. unabh.

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Du kannst das natürlich auch über den Ansatz:

Kann ich einen durch die anderen darstellen klären

Dann musst du aber genau genommen 3x rechnen, ob

etwa der 1. Vektor = a*2.Vektor  + b* 3. Vektor  ist

oder vielleicht der 2. Vektor = a* 1. Vektor + b* 3. Vektor ist

etc.  Bei dreien geht da ja noch, aber wenn du mehr hast ist

meistens der Ansatz

a*1.Vektor + b*2. Vektor  +  c* 3. Vektor = 0-Vektor hilfreich,

denn wenn hier als einzige Lösung a=b=c=0 herauskommt,

sind sie eben lin. unabh.