Im Vektorraum \( \mathbb{Q}^{3} \) sei der Untervektorraum
\(U=\left[\left(\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\right)\right]\)
gegeben, womit der Faktorraum \( \mathbb{Q}^{3} / U \) gebildet werde.
a) Geben Sie für die Vektoren
\(x=\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right), y=\left(\begin{array}{c}0 \\8 \\15\end{array}\right)\)
die Äquivalenzklassen \( \tilde{x}, \tilde{y} \) und \( \widetilde{3 x+y} \) an.
b) Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( \mathbb{Q}^{3} / U \).
c) Stellen Sie die Vektoren
\(\widetilde{\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right)}, \widetilde{\left(\begin{array}{c}0 \\8 \\15\end{array}\right)} \in \mathbb{Q}^{3} / U\)
bezüglich der Basis \( B \) dar. Sind diese beiden Vektoren linear unabhängig?
