Sind die folgenden Vektoren in ℝ3 linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1)

Sind die folgenden Vektoren in ℝ³ linear unabhängig?

v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2) und v3 = (1, 1, 1)

Aufgabe 2)

Bilden die drei Vektoren ein Erzeugendensystem von ℝ³?

Aufgabe 3)

Wähle von den drei Vektoren eine Basis der linearen Hülle von v1, v2 und v3. Außerdem, ergänze diese dann zu einer Basis von ℝ³

Problem/Ansatz:

Aufgabe 1)

Die sind linear abhängig, weil v1 = v2+v3 gebildet werden kann.

Aufgabe 2)

Die bilden ein Erzeugendensystem und können keine Basis sein, weil die linear abhängig sind. Reicht diese Begründung, oder muss ich trotzdem nochmal per Gauß die Lineare Abhängigkeit darstellen?

Aufgabe 3)

Hier habe ich keine Ahnung. Soll ich einfach die Basis von den drei Vektoren berechnen und was meint man mit ergänzen?

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Die 3 Vektoren sind nicht linear unabhängig, denn:$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Hast du richtig\(\quad\checkmark\)

zu 2) Nein, da die 3 Vektoren linear abhängig sind, liegen sie in einer Ebene und können daher nicht den ganzen 3-dimensionalen Raum \(\mathbb R^3\) aufspannen.

zu 3) Wähle die beiden Vektoren auf der rechten Seite als lineare Hülle der 3 Vektoren, also:$$\text{Hülle}=\left\{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\,;\,\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}$$Wie brauchen als Ergänzung zu einer Basis des \(\mathbb R^3\) einen Vektor, der nicht in der Ebene liegt, die von den beiden Vekoren aufgespannt wird.

Wähle z.B. als Ergänzung den Vektor \((1;0;0)^T\).

Comments

Zu 2)

Ich habe es dann falsch verstanden. Wann kann ich denn sagen, dass es ein Erzeugendensystem ist? Wenn die Vektoren linear unabhängig sind?

Nehmen wir, dass ich die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit nicht leicht erkennen kann, überprüfe ich die Vektoren dann per Gauß auf die Unabhängigkeit?

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Nein, für eine Basis müssen die Vektoren linear unabhängig sein. Ein Erzeugendensystems für den \(\mathbb R^3\) können auch mehr als 3 Vektoren sein, die linear abhängig sind.

Die folgenden 4 Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\):$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Aber sie bilden keine Basis, denn eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das nur linear unabhängigen Vektoren enthält.

Du kannst das am einfachsten mit der Determinante prüfen. Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist gleich dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das die \(n\) Spalten- bzw. \(n\) Zeilenvektoren aufspannen. Ist dieses Volumen gleich \(0\), weißt du, dass die \(n\) Vektoren kein Volumen aufspannen.

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Ich verstehe, dass der Unterschied zwischen einer Basis und einem Erzeugendensystem der ist, dass die Vektoren bei einer Basis linear unabhängig sein müssen.

Nur verstehe ich es bei Aufgabe 2 immer noch nicht ganz, denn die Vektoren sind ja eindeutig linear abhängig, also keine Basis, warum bilden sie dann trotzdem kein Erzeugendensystem? Dein genanntes Beispiel mit den vier Vektoren sind ja linear abhängig, also keine Basis, aber warum bilden die ein Erzeugendensystem des ℝ³, aber meiner Aufgabe nicht?

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Zwei linear unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf. Damit kann es kein Erzeugendensystem des R^3 sein, da es dort ja Punkte gibt, die nicht in der Ebene liegen.

Z.B.

Die Vektoren [1,0,0] und [0,1,0] Spannen eine Ebene auf. In dieser Ebene liegt nicht der Punkt (0, 0, 1), weil ich den nicht als Linearkombination der Vektoren darstellen kann.