Sind die folgenden Mengen von Vektoren linear unabhängig?

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2 (Prüfen auf lineare Unabhängigkeit \( (*) \) ).
Sind die folgenden Mengen von Vektoren linear unabhängig? Können sie durch Entfernen eines Vektors linear unabhängig gemacht werden?
a)
\( \left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \)
b)
\( \left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right\} \)

Moinsen, bei b) habe ich ein paar Problemchen.

Also die Menge der Vektoren ist nicht linear unabhängig, weil es 4 Vektoren sind und wir uns in der dritten Dimension R^3 befinden richtig? Wenn ja, ist es einfach immer so, dass wenn die Anzahl von Vektoren die Dimension überschreitet, die Vektoren automatisch linear abhängig sind?

Außerdem kann man aus den ersten drei Vektoren ja die Einheitsvektoren (100) (010) und (001) als Spannraum erzeugen.

Ist es immer so, dass wenn ich aus einer Menge Vektoren die Einheitsvektoren für die jeweilige Dimension darstellen kann, damit "bewiesen" habe, dass sie linear unabhängig sind? Weil dann könnte man ja den vierten Vektor (122) entfernen und hätte wieder lineare Unabhängigkeit.

Vielen Dank für eure Zeit :)

Answer 1

Also die Menge der Vektoren ist nicht linear unabhängig, weil es 4 Vektoren sind und wir uns in der dritten Dimension R3 befinden (bzw. die 4 gegebenen Vektoren aus dem 3-dim Vektorraum R^3 stammen) richtig? ✓

Wenn ja, ist es einfach immer so, dass wenn die Anzahl von Vektoren die Dimension überschreitet, die Vektoren automatisch linear abhängig sind? JA

Ist es immer so, dass wenn ich aus einer Menge Vektoren die Einheitsvektoren für die jeweilige Dimension darstellen kann, damit "bewiesen" habe, dass sie linear unabhängig sind? Nein. Damit hast du nur bewiesen, dass die gegebenen Vektoren ein

Erzeugendensystem bilden. Z.B. könntest du mit

\(\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right\} \)

auch die 3 Einheitsvektoren des R^3 darstellen.

Comments

Danke, meine Rettung :)