Zeigen Sie, dass L linear unabhängig ist.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Vektorraum definiert durch \( V:=\{f \in \mathbb{Q}[X] \mid \) deg \( f \leq 6\} \) zusammen mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation auf \( \mathbb{Q}[X] \). Weiter setzen wir:
\( L:=\left\{3 X-X^{5}, 4 X+X^{3}, 5 X-X^{5}-X^{6}\right\} \subset V . \)
a) Zeigen Sie, dass \( L \) linear unabhängig ist.
b) Ergänzen Sie \( L \) zu einer Basis von \( V \).

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die a) zu berechnen, allerdings sieht es sehr komisch aus. Ich weiß nicht ob das richtig ist.

Wäre sehr dankbar wenn ich zu a) und b) Hilfe bekomme. ;)

a)

\( \begin{array}{l} \left\{3 x-x^{5}, 4 x+x^{3}, 5 x-x^{5}-x^{6}\right\} \subset V \\ \lambda_{1} \cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda_{2} \cdot\left(\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda_{3} \cdot\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{array} \)
in Matrix:
\( \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right) \)

Answer 1

a)

Nach der 3. Zeile müsste λ2 = 0 gelten.

Nach der 6. Zeile müsste λ3 = 0 gelten.

Und wenn λ2 = λ3 = 0 gilt dann müsste auch λ1 = 0 gelten.

Wenn wir folgende Matrix mal in die Zeilenstufenform bringen

[0, 3, 0, 0, 0, -1, 0]
[0, 4, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, 5, 0, 0, 0, -1, -1]

erhalten wir

[0, 3, 0, 0, 0, -1, 0]
[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 2, -3]

Wir ergänzen also folgende Vektoren

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

und erhalten unsere Basis.

Comments

\(V\) hat 7 Dimensionen, Konstanten sind Polynome vom Grad 0.

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V hat 7 Dimensionen, Konstanten sind Polynome vom Grad 0.

Vielen lieben Dank für den Korrekturhinweis. Ich habe meine Antwort ergänzt.