Zeigen Sie, dass (p, q) linear unabhängig ist.

Question

Aufgabe: Seien p,q ∈ ∏₂(ℝ) mit

p(x) = 1 + x, q(x) = 1 + 3x².

Zeigen Sie, dass (p, q) linear unabhängig ist.

Problem: Ich verstehe nicht, wie ich das interpretieren soll. Soll es ein Vektor (1 + x, 1 + 3x²) sein? Wenn ja, wie soll ich einen einzelnen Vektor auf lineare Unabhängigkeit überprüfen? Dafür braucht man doch mind. 2, oder nicht?

Comments

Zeigen Sie, dass (p, q) linear unabhängig ist

Ich denke, das soll { p,q }  lauten,

dann sind p und q 2 Vektoren

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Okay, aber wie soll ich das verstehen? Soll (1 + x) dann einfach ein 1x1-Vektor (ist das überhaupt ein Vektor) sein? Außerdem steht in der Aufgabe tatsächlich (p, q) und nicht { p,q } :)

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Er geht vielleicht um die lineare Unabhängigkeit von Funktionen:

https://www.helpster.de/lineare-unabhaengigkeit-von-funktionen-so-geht-s_22061

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Die Menge der Polynome 2. Grades bildet mit den Operationen + und · einen Vektorraum

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@Roland vielen Dank, das wird es vermutlich sein. Ich schaue mir das nochmal genauer an :)

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Die Vektoren sind hier nicht die Polynomfunktionen sondern deren Funktionsterme (Polynome)

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Hallo

warum ist p=p(x) keine Polynomfunktion, sonder ein "Term"

zu Koala

zeige dass man a*p(x)+b*q(x)=0 nicht für alle x  mit a,b≠0 erfüllen kann.

Gruß lul

Answer 1

Man kann die Polynome als Vektoren in der Monombasis \( \mathcal{B} =\{1,x,x^2 \} \) darstellen und dann wie gewohnt die Unabhängigkeit zeigen.

Dann ist \( p(x) = (1,1,0)^T \) und \( q(x) = (1,0,3)^T \). Die lineare Unabhängigkeit sollte jetzt offensichtlich sein.