Zeigen Sie, dass die Funktionen als Elemente von V R-linear unabhängig sind

Question

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Aufgabe 28
Sei \( V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) der Vektorraum der Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), und \( n \geq 1 \). Zeigen Sie, dass die Funktionen
\( x \mapsto \cos (x), x \mapsto \cos (2 x), \ldots, x \mapsto \cos (n x) \)
als Elemente von \( V \mathbb{R} \)-linear unabhängig sind.
Hinweis: Sie können eine Linearkombination der Funktionen zum Beispiel auch nach \( x \) ableiten.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo also ich hab folgendes Problem: ich hab mir schon einige Videos usw angesehen wo es um lineare abhängigkeit geht und finde es an sich mal nicht zu schwer. Leider geht es in den meisten Beispielen um einfache Vektoren wo man das easy das Gls aufstellen kann und schon hat man es....   Leider komme ich da jetzt bei speziell meinem Beispiel nicht wirklich weiter...

Answer 1

Hallo

du musst zeigen dass a*cos(nx)+b*cos(mx)=0 für n≠m nur für a=b=0 richtig ist, dann dass dasselbe für N Summanden gilt.

(Dabei muss die Gleichung für ALLE x erfüllt sein, das braucht man zum Beweis, denn es gibt immer einige x für die man das erfüllen kann)

lul

Answer 2

Hallo,

es geht um die Folgerungen aus der Annahme mit reellen \(s_k\)

$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad \sum_{k=1}^n s_k \cos(kx)=0$$

Wenn man die cos-Funktion 4-mal differenziert, erhält man wieder den cos. Daher folgt aus obiger Gleichung für alle \(m \in \mathbb{N}\) durch 4m-maliges Differendzieren:

$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad \sum_{k=1}^n s_k k^{4m} \cos(kx)=0 \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^n s_k \left(\frac{k}{n}\right) ^{4m} \cos(kx)=0 \rightarrow s_n\cos(nx)=0$$

Letzteres durch Grenzübergang \(m \to \infty\). Da x beliebig ist, folgt \(s_n=0\).

Analog arbeite man jetzt alle Koeffizienten ab.

Gruß Mathhilf