Bestimme das folgende Imtegral

Question

Hallo!

Habe ich die Aufgabe richtig ausgerechnet? Denn so sind wir auch in der Übungsstunde vorgegangen, mir fällt sonst kein anderer Ansatz ein. Könnt ihr bitte mal einen Blick werfen?

Aufgabe:

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung:

Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{B}} x^{2}+y^{2} \mathrm{~d}(x, y) \) mit \( \mathcal{B}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq a^{2} \wedge y \geq 0\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \). Durch Transformation \( \Psi \) in Polarkoordinaten entspricht \( \mathcal{B} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{B}^{*}=\{(\rho, \varphi) \mid 0 \leq \rho \leq a, 0 \leq \varphi \leq \pi\} \)

Problem/Ansatz:

 \( \int \limits_{B} x^{2}+y^{2} d(x, y) \) mit \( \left.B=L(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2} \wedge y \geqslant 0\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \)
\( \left.\beta^{*}=\mathcal{L}(p, \varphi) 0 \leq p \leq a, 0 \leq \varphi \leq \pi\right\} \)
\( x=r \cdot \cos \varphi \)
\( y=r \cdot \sin y \)
\( x^{2}(r, y)+y^{2}(r, y) \leqslant a^{2} \)
\( \psi(r, y)=\left(\begin{array}{l}x \cdot(s, t) \\ y(s, t)\end{array}\right) \)
\( y \psi=\left(\begin{array}{ll}\cos (\varphi) & -r \sin (\varphi) \\ \sin (\varphi) & r \cos (\varphi)\end{array}\right) \)
\( |\operatorname{det}(y \varphi)|=\left|\left(-r \sin ^{2}(\varphi)-r \cos ^{2} \varphi\right)\right|=\left|(-r) \cdot\left(\sin ^{2}(\varphi)+\cos ^{2}(\varphi)\right)\right|=r \)
\( x^{2}+y^{2}=r^{2} \cdot \cos ^{2} y+r^{2} \sin ^{2} y=r^{2} \)
\( \int \limits_{B} x^{2}+y^{2} d(x, y)=\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{a} r^{2} \cdot r d r d y=\left.\int \limits_{0}^{\pi} \frac{r^{4}}{4}\right|_{0} ^{a}=\left.\frac{a^{4}}{4} \cdot \varphi\right|_{0} ^{\pi} \)
\( =\frac{a^{4}}{4} \cdot \pi \)

Answer 1

Das Ergebnis ist richtig.

Es gibt nur zwischendrin ein paar Probleme mit den Variablen. Auch das Symbol der Funktionaldeterminante ist - gelinde ausgedrückt - etwas seltsam:

Zunächst ist es ok, \(r\) statt \(\rho\) zu nehmen (mach ich auch lieber).

\(y= r\sin \color{blue}{\varphi}\)

Die Koordinatentransformation ist

\(\color{blue}{\Psi}\)\((r,\varphi) =\binom{x(r,\varphi)}{y(r,\varphi)}\)

Es gibt verschiedene Symbole für die Funktionaldeterminante. Eines meiner Favoriten ist

\(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} = \det\begin{pmatrix} \cos \varphi & -r\sin \varphi \\ \sin \varphi & r \cos \varphi \end{pmatrix}\)

Beim Berechen der Funktionaldeterminante hast du einen Vorzeichenfehler, der aber glücklicherweise aufgrund des Betrages keinen Fehler verursacht:

\(\det\begin{pmatrix} \cos \varphi & -r\sin \varphi \\ \sin \varphi & r \cos \varphi \end{pmatrix} = r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r\)

Die Integraltransformation würde dann so aussehen:

$$\int_{\mathcal B} x^2+y^2 d(x,y) = \int_{\Psi (\mathcal B^{\star})} x^2(r,\varphi)+y^2((r,\varphi)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}\right|d(r,\varphi)$$$$ = \int_{\mathcal B^{\star}} r^3d(r,\varphi) = \ldots \text{ weiter mit deinem Doppelintegral }$$

Comments

1000 Dank tranceloation! Die Schreibweise ist wirklich sehr wichtig, sollte möglich ordentlich sein. Danke, dass du alles schön aufgeschrieben hast.

Ich hab jetzt die Doppelintegrale hingeschrieben. Passt die Schreibweise so? Oder gibt‘s irgendwelche Fehler?

 \( =\int \limits_{\psi\left(B^{*}\right)} x^{2}(r, φ)+y^{2}((r, φ))\left|\frac{\partial(x,φ )}{\partial \partial(r,φ )}\right| d(r, φ) \)
\( =\int \limits_{B *} r^{3} d(r,φ)=\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} r^{3} d r dφ= \)
\( =\left.\int \limits_{0}^{\pi} \frac{r^{4}}{4}\right|_{0} ^{a} d φ=\int \limits_{0}^{\pi} \frac{a^{4}}{4} d φ-\left.\frac{a^{4}}{4} \cdot φ \right|_{0} ^{\pi} \)
\( =\frac{a^{4}}{4} \cdot \pi \)

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Beim Doppelintegral muss eine der oberen Grenzen a sein.

Nachdem du nach r integriert hast, taucht plötzlich ein Minus auf - das wohl eher ein = sein soll.

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Ohje, normalerweise habe ich alles korrekt aufgeschrieben, nur konnte die Bilddatei nicht sauber in Textdatei umgewandelt werden. Und ja das soll ein = sein.

Aber ich hab jetzt alles ordentlich, nochmals danke :)

Answer 2

Aloha :)

Dein Ergebnis ist korrekt, aber grottig aufgeschrieben.

Integriert wird nicht über \(dr\,dy\), sondern über \(dr\,d\varphi\).

Du solltest deutlich machen, dass \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\) gilt. Das rechnest du zwar aus, schreibst es aber dann nicht explizit auf.$$I=\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\;\,\int\limits_{r=0}^a r^3\,dr\,d\varphi=\pi\cdot\frac{a^4}{4}$$

Comments

Super, danke dir Tschakabumba!