Hallo!
Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung
Aufgabe:
Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{R}} x+y \mathrm{~d}(x, y) \) wobei \( \mathcal{R} \) das Viereck mit den Eckpunkten \( (0,0) \), \( (5,0),\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right) \) und \( \left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right) \) ist. Verwendet man die Transformation
\( \Psi(u, v)=\left(\begin{array}{l} x(u, v) \\ y(u, v) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 u+3 v \\ 2 u-3 v \end{array}\right) \)
entspricht \( \mathcal{R} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{R}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{R}^{*}=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq u \leq \frac{5}{4}, 0 \leq v \leq \frac{5}{6}\right\} \)
\( \int \limits_{R}^{r)} \int \limits_{R} x+y d(x, y) \)
\( \psi(u, r)=\left(\begin{array}{l}x(u, r) \\ y(u, r)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 u+3 v \\ 2 u-3 v\end{array}\right) \)
\( \int \limits_{R}(2 u+3 v)+(2 u-3 v) d(x, y) \)
\( J \psi=\left(\begin{array}{ll}2 & +3 \\ 2 & -3\end{array}\right) \Rightarrow|\operatorname{det} J \psi|=-6-6=-12 \)
\( \int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} \int \limits_{0}^{\frac{5}{6}}(2 u+3 v)+(2 u-3 v) d v d u=\int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} \int \limits_{0}^{\frac{5}{6}} 4 u d v d u \)
\( \int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} 4 u \cdot[v]_{0}^{\frac{5}{6}} d u=\int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} 4 u \cdot\left[\frac{5}{6}\right] d u \)
\( \left.=\left[4 \frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{5}{6}=2 \cdot\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-2 \cdot 0\right) \cdot \frac{5}{6}= \)
\( \left(2 (\frac{25}{16}\right)_{0}^{2} \frac{5}{6}=\frac{25}{8} \cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{48} \)
Problem/Ansatz:
Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe? Manche stellen konnten nicht richtig umgeformt werden, aber ich hoffe, dass die Rechnung trotzdem nachvollziehbar ist.