Bestimme das folgende Integral (Viereck mit Eckpunkten)

Question

Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe:

Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{R}} x+y \mathrm{~d}(x, y) \) wobei \( \mathcal{R} \) das Viereck mit den Eckpunkten \( (0,0) \), \( (5,0),\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right) \) und \( \left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right) \) ist. Verwendet man die Transformation
\( \Psi(u, v)=\left(\begin{array}{l} x(u, v) \\ y(u, v) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 u+3 v \\ 2 u-3 v \end{array}\right) \)
entspricht \( \mathcal{R} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{R}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{R}^{*}=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq u \leq \frac{5}{4}, 0 \leq v \leq \frac{5}{6}\right\} \)

\( \int \limits_{R}^{r)} \int \limits_{R} x+y d(x, y) \)
\( \psi(u, r)=\left(\begin{array}{l}x(u, r) \\ y(u, r)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 u+3 v \\ 2 u-3 v\end{array}\right) \)
\( \int \limits_{R}(2 u+3 v)+(2 u-3 v) d(x, y) \)
\( J \psi=\left(\begin{array}{ll}2 & +3 \\ 2 & -3\end{array}\right) \Rightarrow|\operatorname{det} J \psi|=-6-6=-12 \)
\( \int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} \int \limits_{0}^{\frac{5}{6}}(2 u+3 v)+(2 u-3 v) d v d u=\int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} \int \limits_{0}^{\frac{5}{6}} 4 u d v d u \)
\( \int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} 4 u \cdot[v]_{0}^{\frac{5}{6}} d u=\int \limits_{0}^{\frac{5}{4}} 4 u \cdot\left[\frac{5}{6}\right] d u \)
\( \left.=\left[4 \frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{5}{6}=2 \cdot\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-2 \cdot 0\right) \cdot \frac{5}{6}= \)
\( \left(2 (\frac{25}{16}\right)_{0}^{2} \frac{5}{6}=\frac{25}{8} \cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{48} \)

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe? Manche stellen konnten nicht richtig umgeformt werden, aber ich hoffe, dass die Rechnung trotzdem nachvollziehbar ist.

Comments

Ich denke nur, man sollte da ein Klammerpaar weniger "einsparen":

\( \int\limits_{R}^{} \) (x+y)  d(x,y) 

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Aber sonst passt alles, oder?

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Ich habe vergessen, die determinante miteinzubeziehen, also stimmt's noch nicht ganz.

Answer 1

Aloha :)

Zu berechnen ist:$$I=\int\limits_R(x+y)\,dx\,dy$$Die Parametrisierung der Menge \(R\) ist vorgegeben:$$\binom{x}{y}=\binom{2u+3v}{2u-3v}\quad;\quad u\in\left[0\bigg|\frac54\right]\;;\;v\in\left[0\bigg|\frac56\right]$$Wir brauchen noch die Transformation des Flächenelementes:$$\frac{dx\,dy}{du\,dv}=\left|\begin{array}{c}\partial_ux & \partial_v x\\\partial_uy & \partial_vy\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}2 & 3\\2 & -3\end{array}\right|=-12\quad\implies\quad dx\,dy=-12\,du\,dv$$

Dieses Flächenelement hast du zwar berechnet, aber dann bei der Substitution nicht beachtet:$$I=\int\limits_{u=0}^{\frac54}\;\,\int\limits_{v=0}^{\frac56}(\;\underbrace{(2u+3v)}_{=x}+\underbrace{(2u-3v)}_{=y}\;)\,\underbrace{(-12)\,du\,dv}_{=dx\,dy}=-48\int\limits_{u=0}^{\frac54}\;\,\int\limits_{v=0}^{\frac56}u\,du\,dv$$$$\phantom I=-48\int\limits_{u=0}^{\frac54}u\,du\int\limits_{v=0}^{\frac56}dv=-48\left[\frac{u^2}{2}\right]_{u=0}^{\frac54}\left[v\right]_{v=0}^{\frac56}=-48\cdot\frac{25}{32}\cdot\frac56=-\frac{125}{4}$$

Das unterscheidet sich von deinem Ergebnis um den Faktor \((-12)\), also genau um den Wert der Determinante.

Comments

Genau, den Wert der Determinante hatte ich eben vergessen. Vielen Dank Tschakabumba!

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Das Integral \(I\) ist doch hier nichts anderes als das Volumen eines auf der Seite liegenden Prismas mit der dreieckiger Grundfläche \(G\) und der Höhe \(h\)$$G = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}\sqrt{2} \cdot 5, \quad h = \frac{5}{2}\sqrt{2} \\ \implies V=Gh = \frac{5^3}{2^2}=\frac{125}{4}$$Und das Volumen \(V\) sowie das Integral \(I\) müssen in jedem Fall positiv sein!

Der Fehler von Tachaka liegt IMHO im Aufstellen der Determinante. \(u,v\) bildet gegenüber \(x,y\) ein linksdrehendes System. Es müsste also heißen$$\frac{dx\,dy}{dv\,du}=\left|\begin{array}{rr}3 & 2\\-3 & 2\end{array}\right|=12\quad\implies\quad dx\,dy=12\,dv\,du$$

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In die Transformationsformel für Integrale geht die Funktionaldeterminante immer im Betrag ein.

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Oha... Danke dir Mathhilf für den Hinweis ;)