Aloha :)
Ich finde deinen Einsatz gut, dass du wirklich vesuchst, die Aufgaben selbst zu lösen. Du machst aber immer ähnliche Flüchtigkeitsfehler. Die müssen nicht sein, dadurch machst du dir deine guten Ansätze kaputt.
Schau z.B. mal auf die Aufgabenstellung selbst. Da steht in der Menge \(B\) drin: \(\red{(x;y;z)\in\mathbb R^2}\). Tatsächlich handelt es sich um eine 3-dimensionale Punktwolke. Im Integral steht \(\red{d(x,y)}\), obwohl \(\red{d(x;y;z)}\) gemeint ist.
Das zu bestimmende Integral lautet:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\int\limits_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{z=0}^y x^2\,dx\,dy\,dz$$
Beim Übergang zu Zylinderkoordinaten verwendet man anstelle von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) die Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) und behält die \(z\)-Koordinate bei. Beim Übergang zu Polarkoordinaten ändert sich das Flächenelement \(\green{dx\,dy}=\green{r\,dr\,d\varphi}\). Das weißt du, wir haben es zusammen besprochen! Daher ändert sich das kartesische Volumenelement beim Übergang zu Zylinderkoordinaten entsprechend:$$\green{dx\,dy}\,dz=\green{r\,dr\,d\varphi}\,dz$$Dieses \(\green r\) ist dir durchgerutscht. Richtig wäre:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\int\limits_{z=0}^{r\sin\varphi}\underbrace{r^2\cos^2\varphi}_{=x^2}\cdot\underbrace{r\,dr\,d\varphi\,dz}_{=dx\,dy\,dz}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\int\limits_{z=0}^{r\sin\varphi}r^3\cos^2\varphi\,dr\,d\varphi\,dz$$
Nun musst du dir die Integrationsreihenfolge überlegen. Es gibt eine Integralgrenze, die sowohl \(r\) als auch \(\varphi\) enthält. Das zugehörige Integral müssen wir daher vor der Integration über \(r\) und vor der Integration über \(\varphi\) lösen. Daher müssen wir als erstes über \(dz\) integrieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\left[r^3\cos^2\varphi\cdot z\right]_{z=0}^{r\sin\varphi}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}r^4\cos^2\varphi\sin\varphi\,dr\,d\varphi$$
Der Rest ist nun einfach, weil die restlichen Integrale faktorisieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1r^4\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\left[\frac{r^5}{5}\right]_{r=0}^1\cdot\left[-\frac13\cos^3\varphi\right]_{\varphi=0}^\pi=\frac15\cdot\frac23=\frac{2}{15}$$
Du kannst das im Prinzip, denn du verstehst ja die Lösungen. Du musst nur deine Gedanken etwas besser ordnen und dabei kann sauberes Aufschreiben eine große Hilfe sein ;)