Bestimme das folgende Integral

Question

Hallo!

Kann mir jemand eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe? Wenn ich mein Ergebnis mit einem Online Rechner vergleiche, dann stimmt’s nicht. Habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut?

Man kann ja die Integrale in diesem Fall vertauschen, deswegen habe ich die Reihenfolge der Integrale geändert und habe dementsprechend so ein Ergebnis rausbekommen:

Aufgabe:

Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{B}} x^{2} \mathrm{~d}(x, y) \) über den Bereich
\( \mathcal{B}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}, 0 \leq z \leq y\right\} \)
Verwendet man Zylinderkoordinaten
\( \Psi(r, \theta, z)=(x(r, \theta, z), y(r, \theta, z), z(r, \theta, z))=(r \cos (\theta), r \sin (\theta), z) \)
entspricht \( \mathcal{B} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{B}^{*}=\{(\theta, r, z) \mid 0 \leq \theta<\pi, 0 \leq r \leq 1,0 \leq z \leq r \sin (\theta)\} \).

Problem/Ansatz:

\( I=\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{r \sin (\theta)} r^{2} \cdot \cos ^{3}(\theta) d z d r d \theta \)
\( =\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{r \cdot \sin ^{(\theta)}} \int \limits_{0}^{1} r^{2} \cdot \cos ^{2}(\theta) d r d z d \theta= \)
\( =\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{r \cdot \sin ^{(\theta)}} \frac{r^{3}}{3} \cdot \cos ^{2}(\theta) d z d \theta= \)
\( =\left.\int \limits_{0}^{\pi} \frac{r^{3}}{3} \cdot \cos ^{2}(\theta) \cdot[z]\right|_{0} ^{r \sin (\theta)}= \)
\( =\int \limits_{0}^{\pi} \frac{r^{3}}{3} \cdot \cos ^{2}(\theta) \cdot[r \sin (\theta)] d \theta \)
\( =\frac{r^{3}}{3} \cdot r \int \limits_{0}^{\pi} \cos ^{2}(\theta) \cdot \sin (\theta) d \theta= \)
\( =-\frac{r^{4}}{3} \cdot \int \limits_{0}^{\pi} \mu^{2} d \mu=-\left.\frac{r^{4}}{3} \cdot \frac{\mu^{3}}{3}\right|_{0} ^{\pi} \)
\( =-\frac{r^{4}}{3} \cdot \frac{\cos ^{3}(\pi)}{3}=\frac{r^{4}}{9} \)

Comments

Wann wirst Du endlich lernen, dass die Integrale Deiner letzten Posts als Ergebnis eine Zahl haben und ein Ergebnis mit einer Variablen falsch ist?!

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Hallo

deine Vertauschung der Reihenfolge gleich am Anfang ist falsch.

lul

Answer 1

Aloha :)

Ich finde deinen Einsatz gut, dass du wirklich vesuchst, die Aufgaben selbst zu lösen. Du machst aber immer ähnliche Flüchtigkeitsfehler. Die müssen nicht sein, dadurch machst du dir deine guten Ansätze kaputt.

Schau z.B. mal auf die Aufgabenstellung selbst. Da steht in der Menge \(B\) drin: \(\red{(x;y;z)\in\mathbb R^2}\). Tatsächlich handelt es sich um eine 3-dimensionale Punktwolke. Im Integral steht \(\red{d(x,y)}\), obwohl \(\red{d(x;y;z)}\) gemeint ist.

Das zu bestimmende Integral lautet:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\int\limits_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{z=0}^y x^2\,dx\,dy\,dz$$

Beim Übergang zu Zylinderkoordinaten verwendet man anstelle von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) die Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) und behält die \(z\)-Koordinate bei. Beim Übergang zu Polarkoordinaten ändert sich das Flächenelement \(\green{dx\,dy}=\green{r\,dr\,d\varphi}\). Das weißt du, wir haben es zusammen besprochen! Daher ändert sich das kartesische Volumenelement beim Übergang zu Zylinderkoordinaten entsprechend:$$\green{dx\,dy}\,dz=\green{r\,dr\,d\varphi}\,dz$$Dieses \(\green r\) ist dir durchgerutscht. Richtig wäre:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\int\limits_{z=0}^{r\sin\varphi}\underbrace{r^2\cos^2\varphi}_{=x^2}\cdot\underbrace{r\,dr\,d\varphi\,dz}_{=dx\,dy\,dz}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\int\limits_{z=0}^{r\sin\varphi}r^3\cos^2\varphi\,dr\,d\varphi\,dz$$

Nun musst du dir die Integrationsreihenfolge überlegen. Es gibt eine Integralgrenze, die sowohl \(r\) als auch \(\varphi\) enthält. Das zugehörige Integral müssen wir daher vor der Integration über \(r\) und vor der Integration über \(\varphi\) lösen. Daher müssen wir als erstes über \(dz\) integrieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\left[r^3\cos^2\varphi\cdot z\right]_{z=0}^{r\sin\varphi}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}r^4\cos^2\varphi\sin\varphi\,dr\,d\varphi$$

Der Rest ist nun einfach, weil die restlichen Integrale faktorisieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1r^4\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\left[\frac{r^5}{5}\right]_{r=0}^1\cdot\left[-\frac13\cos^3\varphi\right]_{\varphi=0}^\pi=\frac15\cdot\frac23=\frac{2}{15}$$

Du kannst das im Prinzip, denn du verstehst ja die Lösungen. Du musst nur deine Gedanken etwas besser ordnen und dabei kann sauberes Aufschreiben eine große Hilfe sein ;)

Comments

Vielen vielen Dank für deine ausführliche Erklärung Tschakabumba!

Du hast recht, ich werde nächstes mal alles ordentlich aufschreiben und strukturiert vorgehen, vielleicht klappt die Rechnung dann.

Ich hätte noch paar Fragen zu dieser Aufgabe: Wir dürfen hier die Integration nicht vertauschen, da z sowohl von r als auch von θ abhängt. Angenommen z hätte nur die Grenzen 0 und sin(θ), also 0 ≤ z ≤ sin(θ), darf man dann die Reihenfolge der Integrale vertauschen?

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In dem Fall \(0\le z\le\sin\varphi\) muss die Integration über \(dz\) vor der Integration über \(d\varphi\) erfolgen. Danach setzt du dann für \(z\) die Grenzen ein, wodurch das \(\varphi\) aus der oberen Grenze in den Integranden wandert. Erst dann kannst du über \(d\varphi\) integrieren.

Vertauschen kannst du eine Integrationsreihenfolge immer nur dann, wenn alle beteiligten Integrationsgrenzen konstante Werte haben.

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Achso, alles klar!

Und wenn wir beispielsweise als Integralgrenzen 0 ≤ z ≤ r hätten, dann muss die Integration über dz vor der Integration über dr erfolgen, richtig? Und das geht dann so weiter, oder?

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Ja perfekt, genau so funktioniert es.

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Alles klar, vielen Dank!