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Aufgabe:

Für \( a \geq 0 \) heißt \( x=\sqrt{a} \) die Wurzel von \( a \) falls \( x^{2}=a \). Gegeben seien die Folgen \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right) \mathrm{mit} \)
\( \begin{array}{ll} a_{n}:=\sqrt{n}-\sqrt{n-1000}, & n \geq 1000, \\ b_{n}:=\sqrt{n}-\sqrt{n-\sqrt{n}}, & n \geq 0, \\ c_{n}:=\sqrt{n}-\sqrt{n-\frac{n}{1000}}, & n \geq 0 . \end{array} \)
Zeigen Sie für \( 1000 \leq n<1000000 \) gilt \( a_{n}>b_{n}>c_{n} \), aber \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\frac{1}{2} \) und die Folge \( \left(c_{n}\right) \) ist unbeschränkt.

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Lösung biete ich keine an (momentan andere Vorhaben), doch die Aufgabenstellung finde ich recht spannend bis originell !

Originell ist sie insofern nicht, als ich sie bereits vor 50 Jahren bearbeiten musste

Was ist jetzt die Frage: Die Gültigkeit der Ungleichungskette oder das zu beweisende Verhalten im Unendlichen?

Die Gültigkeit der Ungleichungskette.

1 Antwort

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Da alle 3 Vorschriften mit "\( \sqrt{n}-... \) "beginnen ist der Term am größten, bei dem danach davon am wenigsten subtrahiert wird.

Die Behauptung ist somit äquivalent zu

\( \sqrt{n-1000}<\sqrt{n-\sqrt{n}}<\sqrt{n-\frac{n}{1000}}\),

was wiederum äquivalent ist zu

\(1000>\sqrt{n}>\frac{n}{1000}\).

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