Aufgabe:
Für \( a \geq 0 \) heißt \( x=\sqrt{a} \) die Wurzel von \( a \) falls \( x^{2}=a \). Gegeben seien die Folgen \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right) \mathrm{mit} \)
\( \begin{array}{ll} a_{n}:=\sqrt{n}-\sqrt{n-1000}, & n \geq 1000, \\ b_{n}:=\sqrt{n}-\sqrt{n-\sqrt{n}}, & n \geq 0, \\ c_{n}:=\sqrt{n}-\sqrt{n-\frac{n}{1000}}, & n \geq 0 . \end{array} \)
Zeigen Sie für \( 1000 \leq n<1000000 \) gilt \( a_{n}>b_{n}>c_{n} \), aber \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\frac{1}{2} \) und die Folge \( \left(c_{n}\right) \) ist unbeschränkt.
