Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (cn)n∈N definiert durch cn := an · bn konvergiert

Question

Aufgabe:

Sei K ein angeordneter Körper und seien (an)n∈N und (bn)n∈N konvergente Folgen in K mit lim n→∞ an =: a und lim n→∞ bn =: b.

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (cn)n∈N definiert durch cn := an · bn konvergiert und dass gilt:

lim_{n→∞} cn = a · b.

Answer 1

Aloha :)

Da \((a_n)\) und \((b_n)\) nach Voraussetzung konvergieren, sind beide Folgen beschränkt, es gibt also \(K_a,K_b>0\), sodass  \(|a_n|\le K_a\) und \(|b_n|\le K_b\) für alle \(n\). Wir wählen \(K=\text{max}\{K_a,K_b\}\), sodass \(|a_n|\le K\) und \(|b_n|\le K\) für alle \(n\) gilt. Wegen der Konvergenz beider Folgen gibt es zu jedem vorgegebenen \(\varepsilon>0\) natürliche Zahlen \(N_a\) und \(N_b\), sodass:$$|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2K}\;\text{für}\;n\ge N_a\quad;\quad|b_n-b|<\frac{\epsilon}{2K}\;\text{für}\;n\ge N_b$$Für  \(N=\text{max}\{N_a,N_b\}\) gilt dann nach der Dreiecksungleichung:

$$|a_nb_n-ab|=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}\le|a_n(b_n-b)|+|(a_n-a)b|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}=|a_n|\cdot|b_n-b|+|(a_n-a)|\cdot|b|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}<K\cdot\frac{\varepsilon}{2K}+\frac{\varepsilon}{2K}\cdot K$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}=\varepsilon$$Die Folge \((a_nb_n)\) kovergiert also und ihr Grenzwert ist \(ab\).

Comments

Wow, vielen Dank! Dachte nicht, dass die Aufgabe so schnell gelöst is.

Und dein Lösungsweg ist auch sehr leicht nachzuvollziehen, vielen dank!