Bestimmen Sie eine Reihe mit dem Summenwert 1/(1-q)^2

Question

Aufgabe:

Sei 0<q<1. Bestimmen Sie eine Reihe mit dem Summenwert \( \frac{1}{(1-q)^2} \)

wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen? Schon mal danke!

Comments

Nutze \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)q^k\)

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kann ich dann einfach ein 0<q<1 benutzen oder wie zeige ich das?

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z.z. u.a. über das Cauchy-Produkt.

Answer 1

Lies mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Text erkannt:

Für \( |q|<1 \) konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folgilich sind
diese sogar gliedweise integrierbar):
$$ \begin{array}{l} {\sum \limits_{k=0}^{\infty} k q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^{2}}} \\ {\sum \limits_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \frac{1}{1-q}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \frac{q}{(1-q)^{2}}=\frac{q(1+q)}{(1-q)^{3}}} \end{array} $$
analog für höhere Potenzen.