Summenwert der unendlichen Reihe 1+1/2+1/4+1/8+1/16+...

Question

ich muss den Summenwert einer unendlichen Reihe bestimmen und weiß aber nicht richtig wie ich da vorgehen soll.

Ich habe die Reihe: 1+1/2+1/4+ 1/8+1/16+...

EDIT: +1/4 ergänzt. 

Dann lautet das allgemeine Glied ja 1/(2^n) und somit ist der Grenzwert 0.

Nun weiß ich aber nicht mehr weiter.

für eure Hilfe!

Answer 1

Wir haben folgendes: $$\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}-1}{-\frac{1}{2}}=-2\left(\frac{1}{2^{n+1}}-1\right)=-\frac{1}{2^{n}}+2$$

Da wir eine unendliche Reihe haben, nehmen wir den Grenzwert $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}=\lim_{n\rightarrow \infty} \left(-\frac{1}{2^{n}}+2\right)=-\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2^{n}}+\lim_{n\rightarrow \infty} 2 =-0+2=2$$

Comments

Ich verstehe nicht so ganz wie du auf den ersten Schritt gekommen bist....

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Wir betrachten die unendliche Reihe. Um den Wert zu berechnen, betrachten wir erstmal die endliche Reihe und suchen dann den Grenzwert für n=∞.

Wir benutzen folgende Formel:

$$\sum_{i=0}^n y^i=\frac{y^{n+1}-1}{y-1}$$

Answer 2

"Dann lautet das allgemeine Glied ja 1/(2ⁿ) "

nur, wenn du 1/4 vergessen hast.

"und somit ist der Grenzwert 0. "

Nein. Nur die Summandenfolge konvergiert gegen 0. Die Summe (Reihe) nicht. 

Kontrolliere erst mal deine Angaben bei: ": 1+1/2+1/8+1/16+... "

1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...= 2

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Oh ja stimmt, tut mir leid!

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1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...= 2 

Befolge den Tipp von 0815

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...)* (1 - 1/2)

= 1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+... - (1/2+1/4 + 1/8+1/16+1/32.....) 

= 1         [ alle übrigen "Summanden heben sich gegenseitig auf. 

Daher:

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...)* (1 - 1/2) = 1

Also

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...) = 1/ (1 - 1/2) 

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...) = 1/(1/2) 

(1+1/2+1/4 + 1/8+1/16+...) = 2. 

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Ah super das leuchtet mir ein!

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Bitte. Gern geschehen.

Ansonsten könntest du auch mit der Formel für "geometrische Reihen" arbeiten. Suche mal nach diesem Stichwort in Wikipedia oder besser in deinen Unterlagen.

Answer 3

Hi, erweitere doch die Reihe mal mit \(\left(1-\frac12\right)\).

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Wie komme ich denn drauf die mit (1-1/2) zu erweitern?

Answer 4

Zugabe für Leute die gern 2 Schritte weit denken und die Ausgangsaufgabe zu einfach finden:

Wer sagt denn, dass die Glieder-Funktion 1/2^x ist?

Es könnte auch f(x)= 24/(x^4-2 x^3+11 x^2+14 x+24)

oder etwas anderes sein...

die Summe davon konvergiert gegen

=2.01748224913982724163128686480339388967641925484...

eine vermutlich irrationale Zahl aus mehreren Digamma Funktionswerten :-)