Summenwert von unendlichen Reihen. Summanden Bsp. (-1)^n*((-5)^n + 3)/ 7^n

Question

Servus zusammen

Ich habe momentan große Probleme bei Summenwerten.

Bei Geometrischen Reihen ist es ja nicht wirklich schwer da gibt es ja die Formel -> $$\frac { 1 }{ 1-q } $$

Aber bei den Folgenden Aufgaben komme ich gar nicht zurecht. Im Grunde suche ich doch die Summe aller glieder meiner Reihe. Aber wie finde ich diese ? Ich glaube nicht das das soooo schwer sein kann ich finde nur einfach nicht den richtigen Anfang.Ich habe leider niemanden der mir darauf eine wirkliche Antwort geben kann und ich habe auf meinen Übungsaufgaben auch keine Lösung. . Vielleicht findet sich ja jemand der mir anhand einer oder zwei der unten stehenden aufgaben das Prinzip erklären könnte.

1, Bestimmen sie den Summenwert folgender Reihen (wenn existiert):

a;  $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ ({ -1) }^{ n }*\frac { { (-5) }^{ n }+3 }{ { 7 }^{ n } }  }  $$

b; $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ (n+1)*(n+3) }  } $$

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Zerlege die Summe in möglichst viele einzelne Summenterme. Eventuell Partialbruchzerlegung.

Alternierende Reihen teilst du in positive Summanden und negative Summanden auf.

Schaust du mal wie weit du alleine kommst?

Comments

Kontroll-Lösungen:

∑((-1)^n·((-5)^n + 3)/7^n, n, 1, ∞) = 17/8 = 2.125

∑(2/((n + 1)·(n + 3)), n, 1, ∞) = 5/6

Answer 2

Forme die Summanden um:

(-1)^n*(-5)^n / 7^n + (-1)^n * 3 / 7^n

= 5^n / 7^n  +   3 *  (-1/7)^n

= (5/7)^n  +  3 *  ( -1/7) ^n 

und dann machst du daraus zwei Reihen, eine mit q=5/7 und

wenn du bei der zweiten die 3 vor die Reihe ziehst eine mit q=(-1/7)

mit deiner Summenformel also

1 / / (1 - (5/7) )  - 1   +  3 *  (   1 /  ( 1 - (-1/7) )   -  1 )

Die roten -1 jeweils, weil die Summe nicht bei o, sondern bei 1 beginnt.

= 1 / (2/7)  +  3 *  1 / ( 8/7)    -  4

= 7/2 + 3* 7/8   - 4

= 28/8   + 21/8  -4  =  49/8 -  4 =   2 + (1/8)

Bei der anderen Summe kannst du auch einen bekannten Trick verwenden

(sog. Teleskopsumme)

Bei der 2. Summe machst du aus dem Summanden  2 / ((n+1)(n+3)) die
Differenz 1/(n+1) - 1 / (n+3) und wenn du dann die Summe aufschreibst, siehst du,
dass es so aussieht
(1/2 - 1/4)  +  ( 1/3 - 1/5 ) + ( 1/4 - 1/6 ) + ( 1/5 - 1/7) + ( 1/6- 1/8 )

und dann siehst du, dass immer zwei (gleichgefärbte ) sich aufheben

(1/2 - 1/4)  +  ( 1/3 - 1/5 ) + ( 1/4 - 1/6 ) + ( 1/5 - 1/7) + ( 1/6 - 1/8 )  usw.

(das 1/7 hebt sich mit dem nächsten nicht notierten Summanden auf)

also haben außer dem 1/2 und dem 1/3 alle einen, der sie wieder aufhebt,
deshalb ist die Summe für n gegen unendlich einfach nur
1/2 + 1/3 = 5/6

Comments

So habs verstanden hat gedauert... aber hab es endlich kapiert! Wäre ohne deinen und den post darüber nie soweit gekommen. Also vielen vielen Dank an euch!.