Grenzwert der unendlichen Reihe zu 2^{3n+1} / 9^n

Question

Problem zu folgender unendlichen Reihe:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{3 n+1}}{9^{n}} \)

Aus dem Wurzelkriterium geht hervor, dass die Reihe konvergent ist, aber zur Berechnung des Grenzwertes habe ich leider keine Idee... Über einen Tipp würde ich mich freuen.

Oh, ich sehe gerade, das ist eine geometrische Reihe, richtig? Kaum stelle ich die Frage schon kommt mir die Lösung :D

Answer 1

Hi,

das ist die geometrische Reihe, welche man hier sehen sollte:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2\cdot8^n}{9^n} = \sum_{n=0}^\infty 2\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^n = \frac{2}{1-\frac89} = 18$$


Grüße

Answer 2

2^{3n+1} / 9^n
= 2 * 2^{3n} / 9^n
= 2 * 8^n / 9^n
= 2 * (8/9)^n

∑ = 18