Ein Quadrat wird ständig durch zwei geteilt. Wie groß ist das fünfte Quadrat?

Question

hab hier folgende wunderbare Aufgabe zu rechnen

ich glaube ich habe sogar eine Lösung, bin aber sehr unsicher ob sie richtig ist.
Zunächst geht es in der Aufgabe ja um das 5. Glied der geometrischen Reihe... die Formel dafür lautet

S_n=a₁*(q_n-1)/(q-1)

danach habe ich einfach eingesetzt... unser a1 sollte ja 1 sein, da wir am Anfang ein Quadrat haben.
Wir suchen das 5. Glied, also ist unser n=5, und q (also der Quotient) ist 2, da wir immer mit zwei multiplizieren (deswegen auch geometrisch) eingesetzt und ausgerechnet ergibt das 31...

jetzt ist das aber alles sehr leicht (sogar so leicht, das ich es gestern nacht um 3 Uhr hinbekommen hab) allerdings glaube ich deswegen auch, das da auch sicher ein Fehler drin ist den ich nicht bemerke (ist die letzte Aufgabe einer Probeklausur, und die hat es für gewöhnlich in sich)

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hm, Grundseite kann man als a annehmen?

Wenn ich das richtig verstehe, muss das 5. Quadrat viel viel kleiner als das ursprüngliche Quadrat mit der Seitenlänge a sein.

Answer 1

1. Quadrat :  Seite a wird geteilt in zwei rechtwi. Dreiecke

mit Seiten a, a ,  a*√2

Dem Dreieck wird ein Quadrat einbeschrieben, das hat dann die

Seite  a/2    ( 2. Quadrat)

Das 3. hat dann davon wieder die Hälfte   a/4

Das 4. hat Seitenlänge  a/8

Das 5.   hat Seitenlänge   a/16

Die Quadratfläche vom 5. ist also a^2 / 256

Also 1/256 vom ursprünglichen Quadrat.

Die Summe von allen ist

a^2 + a^2/4 + a^2/16 + a^2/64 + a^2/256

= a^2 * ( 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 )  = a^2 * 341/256

und in der Klammer die

geom. Reihe mit a=1 und q=1/4 also geht es auch mit der

Reihenformel

= a^2 * (1-(1/4)^5 ) / ( 1 - 1/4) 

= a^2 * (  1023/1024   :   3/4 ) =  a^2 * 341/256

Answer 2

Das fünfte hat den Wert 1/256 = 0,0039 !

Summe ist 1,27 !

Comments

wie ist dein rechenweg (mit begründung)?

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Zeichne die mal die ersten 3 Quadrate auf und entwickel eine Formel.

Mit der Fläche des 5. bin ich einverstanden. Ich komme allerdings auf eine andere Flächensumme. Aber da kann ich mich auch irren. Hab das nur eben schnell gerechnet und ich achte bewusst hier im Forum nicht auf Fehler, damit die Fragesteller etwas zum korrigieren haben und damit sie selber auch noch nachdenken ob das richtig sein kann.

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würdest du mir recht geben das man diese aufgabe mit der summenformel der geometrischen reihe zu rechnen ist? folgen und reihen sind eben auch gerade thema, deswegen dachte ich das muss ich auch auf diese aufgabe anwenden...

Answer 3

Ich meine herausgefunden zu haben das das 2.Quadrat
2/9 der Fläche des Ursprungsquadrats hat

1.) 1
2.) 1* 2/9
3.) 1* (2/9)^2
4.) 1* (2/9)^3
5.) 1* (2/9)^4

0.002439

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Kannst du mal die ersten 2. Quadrate aufmalen? Ich verstehe die 2/9 nicht.

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a ist die Seitenlänge des Quadrats
d ist die Diagonale

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Das ist natürlich auch eine Idee.

Steht ja nicht genau da, wie das neue

Quadrat einbeschrieben wird.

Wäre natürlich schön, wenn es in der Aufgabe

hieße:  ... wird ein möglichst großes Quadrat einbeschrieben"

Dann wäre 1/4 a^2 und 2/9 a^2 zu vergleichen und das

erstere wirklich größer.

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In der Tat auch eine Möglichkeit. Wenn es für mich auch nicht gleich die naheliegendste war.

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@mathecoach
@mathef

Wie wird bei euch das Quadrat in das Dreieck einbeschrieben ?

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Ich habe gerade die Skizze des Mathecoachs gesehen.
Die Sachlage ist somit geklärt.

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Weshalb ich auf meine Lösung gekommen bin wurde mir auch klar.
Es werden mitunter Extremwertaufgaben gestellt : In einen Dachstuhl
soll ein möglichst großer Raum ( Viereck ) eingebaut werden....
Von daher habe ich das Quadrat so positioniert.

Answer 4

Das erste Quadrat habe die Fläche 1.

Das n. Quadrat hat die Fläche

A(n) = (1/4)^{n - 1}

Die Flächensumme bis zum m. Quadrat ist dann

S(m) = ∑ (n = 1 bis m) ((1/4)^{n - 1}) = (4 - (1/4)^{m - 1})/3

Für den Fall 5 also

A(5) = (1/4)^{5 - 1} = 1/256

S(5) = (4 - (1/4)^{5 - 1})/3 = 341/256 = 1.332

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Von fleißigen Schülern und Studenten darf man erwarten können, dass sie sich eine schöne Skizze dazu machen.