Konvergiert die geometrische Reihe für x = -1 oder x=3?

Question

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{x^n}{2^n}} $$ für

a) x = -1, Grenzwert?

b) x = 3, Grenzwert?

Ich weiss nicht, wie man das beurteilt und vorgeht, ich weiss aber, dass das eine geometrische Reihe ist.

Comments

Das Quotientenkriterium und der Einschließungssatz wären doch mal einen Versuch wert.

Answer 1

x^n / 2^n = (x/2)^n

Damit gilt für q = x/2

∑ (n = 0 bis ∞) q^n = 1/(1 - q)

Bedingungen und weitere Infos unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

Im Fall x = -1 ist der Betrag von q <= 1

Dann lässt sich die Summe umschreiben gemäss die von dir genannten Formel.

Für x = 3 ist der Betrag von q = 1.5 >= 1 .

Divergiert diese Reihe dann oder konvergiert sie eventuell doch ? 0der kann ich zb die 3 aus der Summe rausziehen, dann ist q <= 1.

und dann 3* Grenzwert ausrechnen ?

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Für x = 3 ist der Betrag von q = 1.5 >= 1 .

Divergiert diese Reihe dann oder konvergiert sie eventuell doch ? 0der kann ich zb die 3 aus der Summe rausziehen, dann ist q <= 1.

Schreibe dir mal die ersten 3 bis 5 Glieder dieser unendlichen Reihe auf. Ich denke dann sollte sich diese Frage beantworten.

Schau dann auch eventuell unter https://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium

Answer 2

Mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium erhält man (hier QK):

\(\left |  \dfrac{\frac{x^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{x^n}{2^n}}\right | = \dfrac{|x|}{2}\).

Es muss \(|x|  < 1\) gelten, nun noch umformen.