Berechne den Grenzwert der unendlichen Summe: Σ 1/(k(k+3))

Question

Σ 1/(k(k+3)) 

Berechne den Grenzwert der Summe:



Nun sagt mir wolframalpha dass das ganze gegen 11/18 geht.
Ich gehe mal schwer davon aus, dass man hier mit Partialbruchzerlegung arbeiten muss, komme aber nicht darauf, kann mir jemand bitte einen kleinen Tipp geben?

Answer 1

Der Anfang einer Partialbruchzerlegung sieht so aus:

1/(k(k+3)) = A/k + B/( k+3)           |*Hauptnenner  k(k+3)

1 = A(k+3) + Bk

1 = Ak + 3A + Bk

Daraus 2 Gleichungen für A und B ablesen.

1 = 3A          (I)

0 = A + B      (II)

Nun noch A und B bestimmen.

Comments

Hallo Lu,

rein aus interesse: Wieso wählt man A und B?

LG

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Keine Ahnung. Man versucht wohl keine Konflikte zu bekommen.

Kleine Buchstaben könnten allenfalls noch Parameter sein.

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ok vielen Dank dir, hat mir sehr weitergeholfen!

Answer 2

Der Ansatz ist $$\frac{1}{k(k+3)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+3}.$$ \(A\) und \(B\) sind zu bestimmen, und zwar so, dass für alle \(k\) Gleichheit besteht. Zur Bestimmung gibt es viele Moeglichkeiten. Erfinde notfalls eine selber.

Comments

Ok, genau das habe ich versucht, komme da auf keinen grünen Zweig:

und diese Reihe divergiert ja -> (harmonische Reihe).

Wo ist denn mein Denkfehler?

Ah ich seh, hier ist ein Vorzeichenfehler und es würde 0 herauskommen -.-

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Also nochmal:

Das kommt bei mir heraus, beim nochmaligen zurückrechnen kommt auch tatsächlich der Ausgangstherm wieder raus.

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

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Schau mal die partial fraction expansion hier an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(k(k%2B3)) 

und korrigiere dein Resultat.

Nachher dürfte sich eine Teleskopsumme (Wikipedia fragen) ergeben.

Vorgerechnete Beispiele findest du hier: https://www.mathelounge.de/suche?q=teleskopsumme

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Mit dem Ansatz von Lu mit dem A und B bekommst du doch

A = 1/3 und B = -1/3

Also ist deine Summe   Σ 1/(k(k+3)) 

=  Σ (1/3) /k    -   Σ (1/3) / (k+3)

= (1/3) *  Σ 1 /k    -   Σ 1 / (k+3)

also so was :

= ( 1/3) *  (    1/1  +  1/2  +  1/3   + 1/ 4 +  1/5 + ....   - 1/4 - 1/5  -1/6  - 1/ 7 ....... )

und du siehst, da hebt sich alles weg außer

= ( 1/3) *  (    1/1  +  1/2  +  1/3 ) = 11/18

Das meint "Teleskopsumme".

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Danke mathef !

Du meinst hier : 

Also ist deine Summe   Σ 1/(k(k+3))  

=  Σ ( (1/3) /k    -    (1/3) / (k+3) )

= (1/3) *  Σ (1 /k    -    1 / (k+3) )

Die Summen darfst  du streng genommen nicht trennen, solange oben unendlich steht.

Ich rechne mal bis zu einem endlichen n oben.

= 1/3 ( 1 - 1/4 + 1/2 - 1/5 + 1/3 - 1/6 + 1/4 -1/7 + 1/5 - 1/8 + 1/6 - 1/9 + ..........+ 1/n - 1/(n+3) )

            |streichen, was sich weghebt.

= 1/3 ( 1 + 1/2 + 1/3 +0+0....+0 - 1/(n+1) - 1/(n+2) - 1/(n+3))

          | Grenzwert für n gegen unendlich

---->  1/3 ( 1 + 1/2 + 1/3 - 0)

Kommt auf dasselbe raus wie bei mathef.