Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (cn)n∈N definiert durch cn := an : bn konvergiert und dass gilt:

Question

Aufgabe:

Aufgabe:

Sei K ein angeordneter Körper und seien (an)n∈N und (bn)n∈N konvergente Folgen in K mit lim n→∞ an =: a und lim n→∞ bn =: b.

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (cn)n∈N definiert durch cn := an : bn konvergiert und dass gilt:

limn→∞ cn = a : b.

Comments

Kennst du den Satz, dass das Produkt von 2 konvergenten Folgen konvergiert? Wenn ja, kannst du den benutzen und brauchst nur zu zeigen, dass \(\frac{1}{b_n}\) konvergiert, falls \(b_n\) konvergiert.

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Sollte man nicht \(b=0\) ausschließen?

Gruß

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Hey danke, allerdings weiss ich nicht so recht ob man den Satz benutzen darf. Hab den auch nicht ganz verstanden.:(

Answer 1

Hallo

du willst ja lernen mit GW umzugehen du weisst es gib zu jedem ε win N1 so dass für all n>N1 gilt

|an-a|<ε entsprechend für bn ein N2

jetzt such ein N für an/bn indem du das benutzt.

So aufgaben gehen immer auf die Definitionen zurück.

Gruß lul

Comments

Da (an)(a_n)(an) und (bn)(b_n)(bn) nach Voraussetzung konvergieren, sind beide Folgen beschränkt, es gibt also Ka,Kb>0K_a,K_b>0, sodass ∣an∣≤Ka und ∣bn∣≤Kb|b_n| für alle n. Wir wählen K=max{Ka,Kb}, sodass ∣an∣≤K und ∣bn∣≤K für alle n gilt. Wegen der Konvergenz beider Folgen gibt es zu jedem vorgegebenen ε>0 natürliche Zahlen Na und Nb, sodass:∣an−a∣<ϵ/2K für N=max{Na,Nb} gilt dann nach der Dreiecksungleichung: |an/bn - a/b|= |an/bn - an/b +an/b - a/b|

Weiter komme ich leider nicht ;(