\( a_n^2 \) konvergent heisst, \( |a_n^2 -a^2 | \le \epsilon' \) für \( n > n_0 \) und alle \( \epsilon' > 0 \). Man kann als Grenzwert \( a^2 \) wählen, weil der Grenzwert von \( a_n^2 \) ja \( \ge 0 \) sein muss.
Jetzt gilt \( |a_n^2 - a^2 | = |a_n-a| |a_n+a| \le M |a_n-a| \le |M \epsilon' \) weil jede konvergente Folge beschränkt ist. Wähle \( \epsilon' = \frac{\epsilon}{M} \) dann folgt die Behauptung.