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Aufgabe:

Ist die reelle Folge (a2n)n∈ℕ konvergent dann ist auch (an)n∈ℕ konvergent.



Problem/Ansatz: Dann gilt ja jede Teilfolge einer konvergierten Folgen konvergiert gegen den selben Grenzwert. Ich habe für (an)=1/n und für (a2n)= 1/n2 genommen. Beides konvergiert ja gegen 0, wie kann ich das beweisen? :)

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Die Aussage gilt nicht für die Folge \(a_n=(-1)^n\).

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\( a_n^2 \) konvergent heisst, \( |a_n^2 -a^2 | \le \epsilon' \)  für \( n > n_0 \) und alle \( \epsilon'   > 0 \). Man kann als Grenzwert \( a^2 \) wählen, weil der Grenzwert von \( a_n^2 \) ja \( \ge 0 \) sein muss.

Jetzt gilt \( |a_n^2 - a^2 | = |a_n-a| |a_n+a| \le M |a_n-a| \le |M \epsilon' \) weil jede konvergente Folge beschränkt ist. Wähle \( \epsilon' = \frac{\epsilon}{M} \) dann folgt die Behauptung.

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