Beides konvergiert ja gegen 0, wie kann ich das beweisen?

Question

Aufgabe:

Ist die reelle Folge (a²_n)_n∈ℕ konvergent dann ist auch (a_n)_{n∈ℕ konvergent.}

Problem/Ansatz: Dann gilt ja jede Teilfolge einer konvergierten Folgen konvergiert gegen den selben Grenzwert. Ich habe für (a_n)=1/n und für (a²_n)= 1/n² genommen. Beides konvergiert ja gegen 0, wie kann ich das beweisen? :)

Comments

Die Aussage gilt nicht für die Folge \(a_n=(-1)^n\).

Answer 1

\( a_n^2 \) konvergent heisst, \( |a_n^2 -a^2 | \le \epsilon' \)  für \( n > n_0 \) und alle \( \epsilon'   > 0 \). Man kann als Grenzwert \( a^2 \) wählen, weil der Grenzwert von \( a_n^2 \) ja \( \ge 0 \) sein muss.

Jetzt gilt \( |a_n^2 - a^2 | = |a_n-a| |a_n+a| \le M |a_n-a| \le |M \epsilon' \) weil jede konvergente Folge beschränkt ist. Wähle \( \epsilon' = \frac{\epsilon}{M} \) dann folgt die Behauptung.