Zeigen Sie, dass die Folge (cn)n∈N konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Question

Aufgabe:Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

$$cn=\sum \limits_{b=0}^{n}(\frac{1}{2})^b$$

a. Finden Sie für n ∈ N eine andere Formel für | cn − 2| und berechnen Sie damit die Werte für n = 2,
n = 5 und n = 10. Was erwarten Sie für sehr große n ∈ N?
(b) Zeigen Sie, dass die Folge (cn)n∈N konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Problem/Ansatz:

Bitte helfen sie mir ich finde kein andere Formel.

Answer 1

b) 1+1/2+1/4+1/8+.....

Jeder neue Summand ergänzt die bisherige Summe um die Hälfte dessen, was noch bis 2 fehlt. Dann ist die Summe 2.

Answer 2

Es ist eine geometrische Reihe.

Summ= a0/(1-q)

a0= (1/2)^0=1

q= 1/2

--> Summe = 1//1/2) = 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 3

a)

cn = ∑ (b = 0 bis n) ((1/2)^b)

Das sind die Partialsummen einer geometrischen Reihe

cn = 2 - 1/2^n = 2^(n + 1)/2^n - 1/2^n = (2^(n + 1) - 1)/2^n

|cn - 2| = 1/2^n

c2 = 7/4
c5 = 63/32
c10 = 2047/1024

b)

lim (n --> ∞) 2 - 1/2^n = 2