Du musst eine Partialbruchzerlegung durchführen, um $$\frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$ als Summe der Form
$$\frac{A}{(k+1)}+\frac{B}{(k+2)}+\frac{C}{(k+3)}$$ darstellen zu können.
Das gibt vermutlich eine Teleskopsumme, wo sich die meisten Summanden gegenseitig aufheben.
Apropos:
Berechne die Partielle Summe
Was meinst du damit? Laut deiner Formel geht k gegen unendlich . Was ist daran "partiell"?