Berechne die Partielle Summe

Question

Aufgabe:

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$

Berechne die Partielle Summe

Problem/Ansatz:

Das k im Zähler stellt für mich ein Problem dar.

Answer 1

Das k im Zähler stellt für mich ein Problem dar.

$$\dfrac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \\[1em] \dfrac{(k+1)-1}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \\[1em] \dfrac{1}{(k+2)(k+3)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}= \dots$$Jetzt ist das k weg.

Comments

Gut. Vielen Danke. Hat geklappt!

Answer 2

Du musst eine Partialbruchzerlegung durchführen, um $$\frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$ als Summe der Form

$$\frac{A}{(k+1)}+\frac{B}{(k+2)}+\frac{C}{(k+3)}$$ darstellen zu können.

Das gibt vermutlich eine Teleskopsumme, wo sich die meisten Summanden gegenseitig aufheben.

Apropos:

Berechne die Partielle Summe

Was meinst du damit? Laut deiner Formel geht k gegen unendlich . Was ist daran "partiell"?

Answer 3

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$ =\( \frac{1}{4} \).